电磁场与电磁波（2）—

一、场的分类

二、标量场的等值面

三、矢量场的矢量线

四、数量场的梯度

五、哈密顿算子

六、矢量场的散度

七、矢量场的旋度

八、重要公式

九、拉普拉斯算子

十、亥姆霍次定理

一、场的分类

数量场/标量场：

矢量场/向量场：

二、标量场的等值面

在一个标量场中，等值面有无穷多个，如下图等值面C1和等值面C2

在画场图时，默认C3-C2=C2-C1，因此场图中越密的位置，场强变化越快，越疏的位置，场强变化越慢

三、矢量场的矢量线

对于矢量的展开式为

对于来说都不一样，矢量线只说明空间分布，其大小和方向

四、数量场的梯度

即方向导数

点沿l1方向和l2方向变化的程度即该点的方向导数

MP之间的方向导数为:

(式-1)

高数中：P点和M点之间的增量u(P)-u(M)可以用全微分表示：

（式-2）

所以方向导数又可以写为：（将式-2代入到式-1中）

记

所以

其含义为：沿着某一方向的方向导数就是梯度在这个方向上的投影

那么梯度为：

五、哈密顿算子

算子有很多，如a+b，‘+’就是一种算子

定义：哈密顿算子既有矢量性，又有微分性

那么梯度可以写成：

这是直角坐标系中哈密顿算子的展开式，圆柱坐标系、球坐标系不一样

六、矢量场的散度

通量：

对于闭合曲面S‘，正法线方向由内指向外

通量表达式为：矢量乘面积即通量（沿法线方向）

闭合曲面内的通量：表示由内到外通量与由外到内通量的代数和

如果Φ>0，穿出的矢量多于穿入的，曲面内有正源

如果Φ<0，穿出的矢量少于穿入的，曲面内有负源

散度：

对于一点，取闭合曲面

定义称为散度。

如果不取极限，就是闭合曲面通量的平均分布

当△V→0，闭合曲面只有一根矢量线穿出，对于该矢量线的散度可以写为：

其中

加入哈密顿算子，即

（对于哈密顿算子，标量不带点，矢量带点）

七、矢量场的旋度

环量：

符合右手螺旋准则，空间中曲面无数，但只要研究一个环量

定义：

如果Q≠0，可以初步判断有场内漩涡

旋度：

定义：

其中，cosα，cosβ，cosγ为法线方向单位

取

那么旋度可以写成：含义：法线方向上的环量密度就是V矢量在法线方向上的投影

记

亦可以写成：

八、重要公式

对于微分同样适用于哈密顿算子

最后两个恒等式：梯度不旋转，旋度没有源

九、拉普拉斯算子

对于，记为拉普拉斯算子（不是平方）

（▽·(▽u)，标量取了梯度后是矢量）

（旋了又旋）

拉普拉斯算子性质：

加 ’ 时，不写负号，即不考虑方向，只考虑大小

十、亥姆霍次定理

空间中的一个矢量场，可以由其散度、旋度和定解条件唯一确定

学散度、旋度，就是为了以后求解空间中的场强

（PS：CSDN写公式好丑，好麻烦！）