MATLAB特殊矩阵
目录
通用的特殊矩阵
用于专门学科的特殊矩阵
1、魔方矩阵
2、范德蒙德(Vandermonde)矩阵
3、希尔伯特(Hilbert)矩阵
4、托普利兹(Toeplitz)矩阵
5、伴随矩阵
6、帕斯卡(Pascal)矩阵
MATLAB是由早期专门用于矩阵运算的科学计算软件发展而来的。
有一类具有特殊形式的矩阵被称为特殊矩阵,这些特殊矩阵在应用中具有通用性,还有一类在专门学科中得到应用。
通用的特殊矩阵
产生通用特殊矩阵的函数有以下几个。
(1) zeros:产生全0矩阵,也就是零矩阵
(2) ones:产生全1矩阵,也就是幺矩阵
(3) eye:产生单位矩阵
(4) rand:产生(0,1)区间均匀分布的随机矩阵
(5) randn:产生均值为0,方差为1的标准正态分布随机矩阵
这几个函数的调用格式相似,例:
zeros(m) 产生mm大小的零矩阵
zeros(m,n) 产生mn大小的零矩阵
zeros(size(A)) 产生和A矩阵相同大小的零矩阵
zerosans =0onesans =1eyeans =1randans =0.6324randnans =-1.3077zeros(3)ans =0 0 00 0 00 0 0zeros(3,2)ans =0 00 00 0A=[1,1,1,1;1,1,1,1;1,1,1,1;1,1,1,1];zeros(size(A))ans =0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
用于专门学科的特殊矩阵
1、魔方矩阵
magic(n) 生成一个n阶的魔方矩阵
魔方矩阵的一个有趣性质——对于n阶魔方矩阵,其元素由1、2、3、...、共个整数组成,并且每行、每列以及两条对角线上的元素和都等于
magic(3)ans =8 1 63 5 74 9 2magic(5)ans =17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9M=100+magic(5)M =117 124 101 108 115123 105 107 114 116104 106 113 120 122110 112 119 121 103111 118 125 102 109
2、范德蒙德(Vandermonde)矩阵
函数 vander(V)生成以向量V为基础向量的范德蒙德矩阵
A=vander([1;2;3;5])A =1 1 1 18 4 2 127 9 3 1125 25 5 1>> vander([1,2,3,4])ans =1 1 1 18 4 2 127 9 3 164 16 4 1
3、希尔伯特(Hilbert)矩阵
生成希尔伯特矩阵的函数是 hilb(n)
有一个专门求n阶希尔伯特矩阵的逆矩阵的函数 invhilb(n)
希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵,他的每个元素是
值得一提的是希尔伯特矩阵是一个高度病态的矩阵,任何一个元素微小的变动,整个矩阵的值和逆矩阵都会发生很大的变化。
因为我们一般认为良性的矩阵应该是小的扰动产生一个小的偏差。
format rat %以有理形式输出
H=hilb(4)H =1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 H=invhilb(4)H =16 -120 240 -140 -120 1200 -2700 1680 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800 format %恢复默认输出格式
4、托普利兹(Toeplitz)矩阵
生成托普利兹矩阵的函数是 toeplitz(x,y),它生成一个以x为第一列,y为第一行的托普利兹矩阵。如果x和y等长,可以用toeplitz(x)生成一个对称的托普利兹矩阵。
toeplitz((1:6),(1:5))ans =1 2 3 4 52 1 2 3 43 2 1 2 34 3 2 1 25 4 3 2 16 5 4 3 2toeplitz(1:6)ans =1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 53 2 1 2 3 44 3 2 1 2 35 4 3 2 1 26 5 4 3 2 1
5、伴随矩阵
注意此处的伴随矩阵不是线性代数里的伴随矩阵,他是伴随着一个多项式的矩阵,这个多项式称为是这个伴随矩阵的特征多项式,多项式的根就是这个伴随矩阵的特征值。
生成一个多项式p(x)的伴随矩阵的函数是compan(p)
p=[1,0,-7,6];A=compan(p)A =0 7 -61 0 00 1 0>> eig(A)ans =-3.00002.00001.0000roots(p)ans =-3.00002.00001.0000
6、帕斯卡(Pascal)矩阵
帕斯卡矩阵可用于求二项式展开的系数。我们知道展开的系数随着n的增大组成一个三角形表,也就是杨辉三角。帕斯卡矩阵的第一行和第一列元素都是1,其余位置的元素是该元素的左边元素和上一行的对应位置元素相加,也就是
函数pascal(n)生成一个n阶的帕斯卡矩阵
注意了,如果要求的二项式展开系数那么应该用pascal(n+1), 然后依次取副对角线的元素就是所要的系数
pascal(6)ans =1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 61 3 6 10 15 211 4 10 20 35 561 5 15 35 70 1261 6 21 56 126 252
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