用途

FWTFWTFWT 用来在 O(nlog⁡2n)O(n\log_2 n)O(nlog2n) 的时间内解决形如 Ck=∑i⊕j=kAiBjC_k=\sum_{i\oplus j=k}A_iB_jCk=∑i⊕j=kAiBj 的位运算卷积问题。

其中 ⊕\oplus⊕ 表示 and⁡,or⁡,xor⁡,nxor⁡\operatorname{and},\operatorname{or},\operatorname{xor},\operatorname{nxor}and,or,xor,nxor 等位运算中的一种。

思路和 FFTFFTFFT 类似，都是先把多项式 A,BA,BA,B 写成类似 点值表示法 的形式，分别记为 FWT(A)FWT(A)FWT(A) 和 FWT(B)FWT(B)FWT(B) ，使得 FWT(C)i=FWT(A)i⋅FWT(B)iFWT(C)_i=FWT(A)_i\cdot FWT(B)_iFWT(C)i=FWT(A)i⋅FWT(B)i 。

现在按位运算进行分类讨论。

一些符号

这里作一些规定。

每一个序列的长度都是二的整数幂的；
下文中默认位运算的优先级在 +++ 之前，即会先计算位运算，再计算加法；
(A,B)(A,B)(A,B) 表示把 A,BA,BA,B 按 AAA 在前， BBB 在后的顺序拼接起来组成一个长度为 ∣A∣+∣B∣|A|+|B|∣A∣+∣B∣ 的序列；
A+BA+BA+B 表示把两个长度相等的序列 A,BA,BA,B 的每一个对应下标上的数相加，即 (A+B)i=Ai+Bi(A+B)_i=A_i +B_i(A+B)i=Ai+Bi ，形成的序列长度为 ∣A∣|A|∣A∣ ；
A−BA-BA−B 表示把两个长度相等的序列 A,BA,BA,B 的每一个对应下标上的数相减，即 (A−B)i=Ai−Bi(A-B)_i=A_i -B_i(A−B)i=Ai−Bi ，形成的序列长度为 ∣A∣|A|∣A∣ 。

不同位运算下的形式

与运算

先给出一个结论：FWT(A)i=∑iand⁡j=iAjFWT(A)_i=\sum_{i\operatorname{and} j=i} A_jFWT(A)i=iandj=i∑Aj

证明：

∀i∈[0,∣A∣)∪Z,都有FWT(A)i×FWT(B)i=FWT(C)i⟸(∑jand⁡i=iAj)(∑kand⁡i=iBk)=∑jand⁡kand⁡i=iAjBk⟸{jand⁡i=i,kand⁡i=i等价于jand⁡kand⁡i=i\begin{aligned} &\forall i\in[0,|A|)\cup Z,\text{都有}\\ &\qquad\qquad FWT(A)_i\times FWT(B)_i=FWT(C)_i\\ &\impliedby\left(\sum_{j\operatorname{and} i=i}A_j\right)\left(\sum_{k\operatorname{and} i=i}B_k \right) =\sum_{j\operatorname{and} k\operatorname{and} i=i}A_jB_k\\ &\impliedby\begin{cases} j\operatorname{and} i&=i,\\ k\operatorname{and} i&=i \end{cases} \quad\text{等价于}\quad j\operatorname{and} k\operatorname{and} i=i \end{aligned}∀i∈[0,∣A∣)∪Z,都有FWT(A)i×FWT(B)i=FWT(C)i⟸⎝⎛jandi=i∑Aj⎠⎞(kandi=i∑Bk)=jandkandi=i∑AjBk⟸{jandikandi=i,=i等价于jandkandi=i

得证。

根据这个结论直接做是 O(n2)O\left(n^2\right)O(n2) 的。

考虑像 FFTFFTFFT 那样，把序列 AAA 二分为序列 A0,A1A_0,A_1A0,A1 ，再根据 FWT(A0),FWT(A1)FWT(A_0),FWT(A_1)FWT(A0),FWT(A1) 算出 FWT(A)FWT(A)FWT(A) ，这样就可以做到 O(nlog⁡2n)O(n\log_2 n)O(nlog2n) 了。

发现如果把序列 AAA 的下标用 二进制 表示， A0A_0A0 是由下标中第 1+log⁡2∣A∣1+\log_2 |A|1+log2∣A∣ 位（也就是当前的最高位）为 000 的元素组成的， A1A_1A1 中的元素的最高位则为 111 。

因为 and⁡\operatorname{and}and 运算有这样的性质：除了 1and⁡1=11\operatorname{and} 1=11and1=1 ，其它 0and⁡1,0and⁡0,1and⁡00\operatorname{and} 1,0\operatorname{and} 0,1\operatorname{and} 00and1,0and0,1and0 的值都为 000 。即 A1A_1A1 会贡献到 A0A_0A0 ，因此可以得到：

FWT(A)=(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A1))FWT(A)=(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1))FWT(A)=(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A1))

那反演就容易了：

UFWT(A)=(UFWT(A0)−UFWT(A1),UFWT(A1))UFWT(A)=(UFWT(A_0)-UFWT(A_1),UFWT(A_1))UFWT(A)=(UFWT(A0)−UFWT(A1),UFWT(A1))

代码

inline void fwt_and(int f[],int opt)
{for(int i=2,j=1;i<=m;j=i,i<<=1)for(int t=0;t<m;t+=i)for(int k=t;k<j+t;++k)f[k]+=f[k+j]*opt;
}

或运算

同样的，先给出结论：FWT(A)i=∑ior⁡j=iAjFWT(A)_i=\sum_{i\operatorname{or} j=i} A_jFWT(A)i=iorj=i∑Aj

证明是类似的，就不写了。结论也是类似的：

FWT(A)=(FWT(A0),FWT(A0)+FWT(A1))UFWT(A)=(UFWT(A0),UFWT(A1)−UFWT(A0))\begin{aligned} FWT(A)&=(FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1))\\ UFWT(A)&=(UFWT(A_0),UFWT(A_1)-UFWT(A_0)) \end{aligned}FWT(A)UFWT(A)=(FWT(A0),FWT(A0)+FWT(A1))=(UFWT(A0),UFWT(A1)−UFWT(A0))

代码

inline void fwt_or(int f[],int opt)
{for(int i=2,j=1;i<=m;j=i,i<<=1)for(int t=0;t<m;t+=i)for(int k=t;k<j+t;++k)f[k+j]+=f[k]*opt;
}

异或运算

注意这个结论长得不一样（ popcount⁡(x)\operatorname{popcount}(x)popcount(x) 表示把 xxx 写成二进制形式有多少位上的数为 111 ）：

FWT(A)i=∑2∣popcount⁡(iand⁡j)Aj−∑2∤popcount⁡(iand⁡j)AjFWT(A)_i=\sum_{2\mid\operatorname{popcount}(i\operatorname{and} j)} A_j -\sum_{2\nmid\operatorname{popcount}(i\operatorname{and} j)} A_jFWT(A)i=2∣popcount(iandj)∑Aj−2∤popcount(iandj)∑Aj

注意不是直接仿照 与运算 、 或运算 的形式写成

FWT(A)i=∑ixor⁡j=iAjFWT(A)_i=\sum_{i\operatorname{xor} j=i} A_jFWT(A)i=ixorj=i∑Aj

为了方便起见，定义运算符 ⊗\otimes⊗ ： x⊗y=popcount⁡(xand⁡y)mod2x\otimes y=\operatorname{popcount}(x\operatorname{and} y)\mod{2}x⊗y=popcount(xandy)mod2 。

那么这个运算符是满足以下性质的：

(x⊗y)xor⁡(x⊗z)=x⊗(yxor⁡z)(x\otimes y)\operatorname{xor}(x\otimes z)=x\otimes (y\operatorname{xor} z)(x⊗y)xor(x⊗z)=x⊗(yxorz)

证明：

令 a=popcount⁡(xand⁡yand⁡z),b=popcount⁡(xxor⁡y)−a,c=popcount⁡(yxor⁡z)−aa=\operatorname{popcount}(x\operatorname{and}y\operatorname{and}z),b=\operatorname{popcount}(x\operatorname{xor}y)-a,c=\operatorname{popcount}(y\operatorname{xor}z)-aa=popcount(xandyandz),b=popcount(xxory)−a,c=popcount(yxorz)−a 。

那么

popcount⁡(xand⁡(yxor⁡z))=b+c=popcount⁡(xxor⁡y)+popcount⁡(xxor⁡z)−2a∴x⊗(yxor⁡z)=(x⊗y+x⊗z)mod2=(x⊗y)xor⁡(x⊗z)\begin{aligned} &\quad\;\operatorname{popcount}(x\operatorname{and}(y\operatorname{xor}z))\\&=b+c\\ &=\operatorname{popcount}(x\operatorname{xor}y)+\operatorname{popcount}(x\operatorname{xor}z)-2a\\ &\therefore x\otimes(y\operatorname{xor}z)\\ &=(x\otimes y+x\otimes z)\mod{2}\\ &=(x\otimes y)\operatorname{xor}(x\otimes z) \end{aligned}popcount(xand(yxorz))=b+c=popcount(xxory)+popcount(xxorz)−2a∴x⊗(yxorz)=(x⊗y+x⊗z)mod2=(x⊗y)xor(x⊗z)

得证。

然后现在来证明结论：

证明：

FWT(A)i⋅FWT(B)i=(∑j⊗i=0Aj−∑j⊗i=1Aj)(∑k⊗i=0Bk−∑k⊗i=1Bk)=(∑j⊗i=0Aj)(∑k⊗i=0Bk)−(∑j⊗i=0Aj)(∑k⊗i=1Bk)−(∑j⊗i=1Aj)(∑k⊗i=0Bk)+(∑j⊗i=1Aj)(∑k⊗i=1Bk)=∑i⊗(jxor⁡k)=0AjBk−∑i⊗(jxor⁡k)=1AjBk=FWT(C)i\begin{aligned} &FWT(A)_i\cdot FWT(B)_i\\ =&\left(\sum_{j\otimes i=0}A_j-\sum_{j\otimes i=1}A_j \right)\left(\sum_{k\otimes i=0}B_k-\sum_{k\otimes i=1}B_k \right)\\ =&\left(\sum_{j\otimes i=0}A_j\right)\left(\sum_{k\otimes i=0}B_k\right)-\left(\sum_{j\otimes i=0}A_j\right)\left(\sum_{k\otimes i=1}B_k\right)-\\ &\left(\sum_{j\otimes i=1}A_j\right)\left(\sum_{k\otimes i=0}B_k\right)+\left(\sum_{j\otimes i=1}A_j\right)\left(\sum_{k\otimes i=1}B_k\right)\\ =&\sum_{i\otimes(j\operatorname{xor}k)=0}A_jB_k-\sum_{i\otimes(j\operatorname{xor}k)=1}A_jB_k\\ =&FWT(C)_i \end{aligned}====FWT(A)i⋅FWT(B)i(j⊗i=0∑Aj−j⊗i=1∑Aj)(k⊗i=0∑Bk−k⊗i=1∑Bk)(j⊗i=0∑Aj)(k⊗i=0∑Bk)−(j⊗i=0∑Aj)(k⊗i=1∑Bk)−(j⊗i=1∑Aj)(k⊗i=0∑Bk)+(j⊗i=1∑Aj)(k⊗i=1∑Bk)i⊗(jxork)=0∑AjBk−i⊗(jxork)=1∑AjBkFWT(C)i

得证。

因此可以得出：

FWT(A)=(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A0)−FWT(A1))UFWT(A)=(UFWT(A1)+UFWT(A0)2,UFWT(A1)−UFWT(A0)2)\begin{aligned} FWT(A)&=(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))\\ UFWT(A)&=\left(\cfrac{UFWT(A_1)+UFWT(A_0)}{2},\cfrac{UFWT(A_1)-UFWT(A_0)}{2}\right) \end{aligned}FWT(A)UFWT(A)=(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A0)−FWT(A1))=(2UFWT(A1)+UFWT(A0),2UFWT(A1)−UFWT(A0))

代码

这份代码里面的 FWTFWTFWT 是在取模意义下的，不用取模的话修改一下就好了。


inline int plus(int x,int y)
{x+=y;if(x>=P) x-=P;else if(x<0) x+=P;return x;
}
inline void fwt_xor(int f[],int opt)
{for(int i=2,j=1,x,y;i<=m;j=i,i<<=1)for(int t=0;t<m;t+=i)for(int k=t;k<t+j;++k){x=plus(f[k],f[k+j]),y=plus(f[k],P-f[k+j]);opt>0? f[k]=x,f[k+j]=y : (f[k]=inv2*x%P,f[k+j]=inv2*y%P) ;}
}

同或运算

同或运算下的 FWTFWTFWT 与异或的类似。

先给出结论： FWT(A)i=∑2∣popcount⁡(ior⁡j)Aj−∑2∤popcount⁡(ior⁡j)AjFWT(A)_i=\sum_{2\mid\operatorname{popcount}(i\operatorname{or} j)} A_j -\sum_{2\nmid\operatorname{popcount}(i\operatorname{or} j)} A_jFWT(A)i=2∣popcount(iorj)∑Aj−2∤popcount(iorj)∑Aj

可以得到

FWT(A)=(FWT(A0)−FWT(A1),FWT(A0)+FWT(A1))UFWT(A)=(UFWT(A1)−UFWT(A0)2,UFWT(A1)+UFWT(A0)2)\begin{aligned} FWT(A)&=(FWT(A_0)-FWT(A_1),FWT(A_0)+FWT(A_1))\\ UFWT(A)&=\left(\cfrac{UFWT(A_1)-UFWT(A_0)}{2},\cfrac{UFWT(A_1)+UFWT(A_0)}{2}\right) \end{aligned}FWT(A)UFWT(A)=(FWT(A0)−FWT(A1),FWT(A0)+FWT(A1))=(2UFWT(A1)−UFWT(A0),2UFWT(A1)+UFWT(A0))

在异或运算的代码上改一下可以了。

例题

P4717

P4717 【模板】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define fo(i,l,r) for(i=l;i<r;++i)
#define N 262145
const int P=998244353;
const long long inv2=499122177;
int m,a[N],b[N],c[N],A[N],B[N];
inline void add(int &x,int y)
{x+=y;if(x>=P) x-=P;else if(x<0) x+=P;
}
inline int plus(int x,int y)
{x+=y;if(x>=P) x-=P;else if(x<0) x+=P;return x;
}
inline void fwt_or(int f[],int opt)
{for(int i=2,j=1;i<=m;j=i,i<<=1)for(int t=0;t<m;t+=i)for(int k=t;k<j+t;++k)add(f[k+j],f[k]*opt);
}
inline void fwt_and(int f[],int opt)
{for(int i=2,j=1;i<=m;j=i,i<<=1)for(int t=0;t<m;t+=i)for(int k=t;k<j+t;++k)add(f[k],f[k+j]*opt);
}
inline void fwt_xor(int f[],int opt)
{for(int i=2,j=1,x,y;i<=m;j=i,i<<=1)for(int t=0;t<m;t+=i)for(int k=t;k<t+j;++k){x=plus(f[k],f[k+j]),y=plus(f[k],P-f[k+j]);opt>0? f[k]=x,f[k+j]=y : (f[k]=inv2*x%P,f[k+j]=inv2*y%P) ;}
}
int main()
{freopen("fwt.in","r",stdin);freopen("fwt.out","w",stdout);int n,i;scanf("%d",&n),m=1<<n;fo(i,0,m) scanf("%d",a+i);fo(i,0,m) scanf("%d",b+i);fo(i,0,m) A[i]=a[i],B[i]=b[i];fwt_or(a,1),fwt_or(b,1);fo(i,0,m) c[i]=1LL*a[i]*b[i]%P;fwt_or(c,-1);fo(i,0,m) printf("%d ",c[i]);puts("");memcpy(a,A,sizeof a),memcpy(b,B,sizeof b);fwt_and(a,1),fwt_and(b,1);fo(i,0,m) c[i]=1LL*a[i]*b[i]%P;fwt_and(c,-1);fo(i,0,m) printf("%d ",c[i]);puts("");memcpy(a,A,sizeof a),memcpy(b,B,sizeof b);fwt_xor(a,1),fwt_xor(b,1);fo(i,0,m) c[i]=1LL*a[i]*b[i]%P;fwt_xor(c,-1);fo(i,0,m) printf("%d ",c[i]);puts("");return 0;
}

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