目录

前言

问题二模型的建立与求解

1.2.1 ARIMA时间序列模型的建立与求解

平稳性检验

的时间序列预测模型的建立与求解

模型的检验

对于的时间序列预测模型的建立与求解

模型的检验

前言

SPSS软件的数据分析与GDP和人口老龄化的预测

下图是第七次人口普查的统计报告，显示1953年到2020年间7次人口普查的人口年龄段分布，下表是每次人口普查GDP情况，请用SPSS软件进行数据分析，完成以下题目：

1.分析人口老龄化与GDP增长是否有联系，如果有，请拿出数据进行相关说明；如果没有，请给出理由（65岁以上视为老龄人）。

2.请你根据图和表中所给数据预测第八次人口普查时，中国的人口老龄化情况，并对GDP进行预测（以每次普查为单位）。

每次人口普查的GDP 单位：美元
年份	GDP
1953	314.86亿
1964	597.08亿
1982	2050.9亿
1990	3608.58亿
2000	1.21万亿
2010	6.09万亿
2020	14.72万亿

数据来源：国家统计局

模型的建立与求解
1. 问题一模型的建立与求解

以GDP为横坐标，人口老龄化比重为纵坐标，画出散点图：

图一 GDP与人口老龄化比重的散点图

利用spss软件分析人口老龄化，即65岁以上所占人口比例与GDP之间的相关性，得出以下结果：

相关性
			人口老龄化比重	GDP
肯德尔 tau_b	人口老龄化比重	相关系数	1.000	.905**
	人口老龄化比重	N	7	7
	GDP	相关系数	.905**	1.000
	GDP	N	7	7
斯皮尔曼 Rho	人口老龄化比重	相关系数	1.000	.964**
	人口老龄化比重	N	7	7
	GDP	相关系数	.964**	1.000
	GDP	N	7	7
相关性显著

可以得出人口老龄化增长与GDP增长之间相关性显著

假设二者之间符合线性回归模型

即二者之间满足关系式：

利用spss软件进行数据分析，求出系数值：

系数a
模型		未标准化系数		标准化系数	t	显著性
		B	标准错误	Beta
1	(常量)	4.872	.415		11.732	.000
	GDP（万亿美元）	.603	.069	.969	8.774	.000
a. 因变量：人口老龄化比重

可以得出人口老龄化增长与GDP增长之间的函数关系为：

$y=\alpha x+\beta$

画出回归曲线：

图二线性拟合结果

假设二者之间符合非线性回归模型

利用matlab拟合工具箱，拟合出最佳曲线:

图三非线性拟合结果

得出模型表达式为：

$y=2.275x^{0.52}+3.875$

进行模型检验：

表一模型检验结果

稳态误差	多重测定系数	拟合系数	剩余标准差
2.03	0.9712	0.9568	0.7125

因此可认为拟合效果较好。

问题二模型的建立与求解

1.2.1 ARIMA时间序列模型的建立与求解

列出各年份对应的人口老龄化比重和GDP如下表所示：

表二各年份对应的人口老龄化比重和GDP

年份	人口老龄化比重	GDP
1953.00	4.41	0.03
1964.00	3.56	0.06
1982.00	4.91	0.21
1990.00	5.57	0.36
2000.00	6.96	1.21
2010.00	8.87	6.09
2020.00	13.50	14.72

平稳性检验

画出人口老龄化比重和GDP对应的时序图进行初步检验：

图四时序图

观察时序推测两项时序图均为非平稳序列，进一步进行Daniel检验.

Spearman相关系数：

记人口老龄化比重和GDP对应的时间序列分别为 $a_{t},b_{t}$

对于显著水平0.05，由Spearman相关系数计算公式可得两个时间序列均为非平稳序列，因此构造差分序列：

画出各一阶差分方程所对应的散点图：

图五人口老龄化对应时序图

图六 GDP对应时序图

由散点图可知，序列 $c_{t}$ 较为平稳，而 $b_{t}$ 所在的序列无论进行多少次差分均无法平稳，故对于无法使用时间序列求解

$a_{t}$ 的时间序列预测模型的建立与求解

建立如下的ARIMA模型对 $a_{t}$ 进行预测：

利用表中数据，采用最小二乘法计算得出 $a_{t}$ 的预测模型为：

则得出第八次人口普查老龄化比重的预估值为：14.41.

模型的检验

绘出预测模型中的数据与实际数据进行对比：

图七人口老龄化预测模型结果

由图可知该模型准确率较高，结果具有可信度

对于的 $b_{t}$ 时间序列预测模型的建立与求解

由于无法直接对 $b_{t}$ 使用时间序列求解，但所建模型求解精度较高，故可用第一题拟合方程对进行求解：

代入 $a_{t}$ ，可得出 $b_{t}$ 的表达式：

得出第八次人口普查的GDP的预估值为18.896（万亿美元）

模型的检验

图八 GDP预测结果

由图可知由于GDP增长速度逐年增加，国家对于老龄化问题处理的更好，故该结果可信度并不高。即该模型是存在缺陷的

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