应力应变基础理论分析

文章目录

1.基本假设与基本物理量
2.应变与位移的关系
3.应力与应变关系
5.变形连续方程（相容方程）
6.位移分量求解应力及边界条件

在分析激光加工过程中的热应力问题之前，首先讨论一下弹性体的应力应变问题。
在此之前，先来了解几个基本参数：

E：拉压弹性模量
μ\muμ：泊松比
G：剪切弹性模量G=E2(1+μ)G=\frac{E}{2(1+\mu)}G=2(1+μ)E

1.基本假设与基本物理量

关于物质性质的几点假设（线弹性理论）：

物体是连续的（可以用坐标的连续性函数表示）;
物体是完全弹性的（变形后可恢复）;
物体是均匀且各向同性的（非晶体）;
物体的位移和变形是微小的（不需考虑物体尺寸变化）;
物体内无原始应力（无残余内应力）。

体力与面力：

体力，又叫体积力，作用于物体体积内，如：重力，磁力等；
面力，分布于物体表面，如：压力、静水压力等；

应力：

正应力 σ\sigmaσ：垂直于截面方向，也可用 τxx\tau_{xx}τxx 表示；
剪应力 τ\tauτ: 平行于界面方向；
τxy\tau_{xy}τxy 含义：剪应力位于垂直于x轴的平面上，并与y轴平行；
剪切力互等定理： τxy=τyx,τxz=τzx,τzy=τyz\tau_{xy}=\tau_{yx},\tau_{xz}=\tau_{zx},\tau_{zy}=\tau_{yz}τxy=τyx,τxz=τzx,τzy=τyz
正负判定：截面外法线方向沿坐标轴正方向，则以坐标轴正方向为正；否则，以坐标轴负方向为正。其正方向如下图所示：

应力的矩阵形式：
σ=[σxσyσzτxyτyzτzx]T\mathbf \sigma=\begin{matrix} [ \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z & \tau_{xy}&\tau_{yz}&\tau_{zx}]^T \end{matrix} σ=[σxσyσzτxyτyzτzx]T

应变：

正应变：各棱边的伸长或缩短（拉伸为正)，符号：εx\varepsilon_xεx；
剪应变：边与边之间夹角的变化（角度变小为正)，符号 γxy\gamma_{xy}γxy；
矩阵形式： ε=[εxεyεzγxyγyzγzx]T\mathbf \varepsilon=\begin{matrix} [ \varepsilon_x &\varepsilon_y &\varepsilon_z & \gamma_{xy}&\gamma_{yz}&\gamma_{zx}]^T \end{matrix} ε=[εxεyεzγxyγyzγzx]T

边界条件：

位移边界条件（边界位移已知）；
应力边界条件（面力大小已知）；
混合边界条件（以上两种边界条件均存在）。

2.应变与位移的关系

位移应变：(任取空间一点P，以xoy平面为例进行分析)

ε=[∂u∂x∂v∂y∂w∂z∂v∂x+∂u∂y∂w∂y+∂v∂z∂u∂z+∂w∂x]T\varepsilon=\begin{matrix} [ \frac{\partial u}{\partial x} &\frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} & \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} &\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z} &\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} ]^T \end{matrix} ε=[∂x∂u∂y∂v∂z∂w∂x∂v+∂y∂u∂y∂w+∂z∂v∂z∂u+∂x∂w]T
体积应变(三个方向正应变之和)：
e≈εx+εy+εz=∂u∂x+∂v∂y+∂w∂ze\approx\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}e≈εx+εy+εz=∂x∂u+∂y∂v+∂z∂w

刚体位移（物体形状不变，应变为零）：

如上图所示，在物体中任意一点P处所取的正平行六面微元体，徽元体各面与坐标面平行,
现讨论微元六面立方体变形后，平行于xoy坐标面的PNQR面的对角线PQ绕Z轴的转角 ωz\omega_zωz:
ωz=12(αyx−αxy)=12(∂v∂x−∂u∂y)\omega_z=\frac 12(\alpha_{yx}-\alpha_{xy})=\frac 12(\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y})ωz=21(αyx−αxy)=21(∂x∂v−∂y∂u)
同理，可求得微元立方体另外两个投影面的对角线PS及PT绕y轴和x轴的转角 ωy\omega_yωy 及 ωx\omega_xωx ;则:
ωx=12(∂w∂y−∂v∂z)\omega_x=\frac 12(\frac{\partial w}{\partial y} -\frac{\partial v}{\partial z})ωx=21(∂y∂w−∂z∂v)

ωy=12(∂u∂z−∂w∂x)\omega_y=\frac 12(\frac{\partial u}{\partial z} -\frac{\partial w}{\partial x})ωy=21(∂z∂u−∂x∂w)

ωz=12(∂v∂x−∂u∂y)\omega_z=\frac 12(\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y})ωz=21(∂x∂v−∂y∂u)

另外，若假设物体形状不变，即应变为零，并且物体内各点位移是坐标的线性函数（均匀变形），则：
u=u0+ωyz+ωzyu=u_0+\omega_yz+\omega_zyu=u0+ωyz+ωzy

v=v0+ωzx+ωxzv=v_0+\omega_zx+\omega_xzv=v0+ωzx+ωxz

w=w0+ωxy+ωyxw=w_0+\omega_xy+\omega_yxw=w0+ωxy+ωyx

u0、v0、w0u_0、v_0、w_0u0、v0、w0 分别表示P点在x、y、z方向上的位移。

3.应力与应变关系

{εx=1E[σx−μ(σy+σz)]εy=1E[σy−μ(σx+σz)]εz=1E[σz−μ(σx+σy)]γxy=τxyGγyz=τyzGγzx=τzxG\begin{cases}\varepsilon_x=\frac{1}{E}[\sigma_x-\mu(\sigma_y+\sigma_z)]\\[1.5ex] \varepsilon_y=\frac{1}{E}[\sigma_y-\mu(\sigma_x+\sigma_z)]\\[1.5ex] \varepsilon_z=\frac{1}{E}[\sigma_z-\mu(\sigma_x+\sigma_y)]\\[1.5ex] \gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G}\\[1.5ex] \gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G}\\[1.5ex] \gamma_{zx}=\frac{\tau_{zx}}{G} \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧εx=E1[σx−μ(σy+σz)]εy=E1[σy−μ(σx+σz)]εz=E1[σz−μ(σx+σy)]γxy=Gτxyγyz=Gτyzγzx=Gτzx

以应变分量表示应力分量：
{σx=E(1−μ)(1+μ)(1−2μ)(εx+μ1−μεy+μ1−μεz)σy=E(1−μ)(1+μ)(1−2μ)(εy+μ1−μεz+μ1−μεx)σz=E(1−μ)(1+μ)(1−2μ)(εz+μ1−μεx+μ1−μεy)τxy=Gγxy=E2(1+μ)γxyτyz=Gγyz=E2(1+μ)γyzτzx=Gγzx=E2(1+μ)γzx\begin{cases}\sigma_x=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}(\varepsilon_x+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_y+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_z)\\[1.5ex] \sigma_y=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}(\varepsilon_y+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_z+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_x)\\[1.5ex] \sigma_z=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}(\varepsilon_z+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_x+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_y)\\[1.5ex] \tau_{xy}=G\gamma_{xy}=\frac E{2(1+\mu)}\gamma_{xy}\\[1.5ex] \tau_{yz}=G\gamma_{yz}=\frac E{2(1+\mu)}\gamma_{yz}\\[1.5ex] \tau_{zx}=G\gamma_{zx}=\frac E{2(1+\mu)}\gamma_{zx} \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧σx=(1+μ)(1−2μ)E(1−μ)(εx+1−μμεy+1−μμεz)σy=(1+μ)(1−2μ)E(1−μ)(εy+1−μμεz+1−μμεx)σz=(1+μ)(1−2μ)E(1−μ)(εz+1−μμεx+1−μμεy)τxy=Gγxy=2(1+μ)Eγxyτyz=Gγyz=2(1+μ)Eγyzτzx=Gγzx=2(1+μ)Eγzx

将上述方程组整理成矩阵形式：
σ=Dε\sigma=\mathbf D\varepsilonσ=Dε

D=E(1−μ)(1+μ)(1−2μ)[1μ1−μμ1−μ000μ1−μ1μ1−μ000μ1−μμ1−μ10000001−2μ2(1−μ)0000001−2μ2(1−μ)0000001−2μ2(1−μ)]\mathbf D=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)} \begin{bmatrix} 1&\frac\mu{1-\mu}&\frac\mu{1-\mu}&0&0&0\\ \frac\mu{1-\mu}&1&\frac\mu{1-\mu}&0&0&0\\ \frac\mu{1-\mu}&\frac\mu{1-\mu}&1&0&0&0\\ 0&0&0&\frac{1-2\mu}{2(1-\mu)}&0&0\\ 0&0&0&0&\frac{1-2\mu}{2(1-\mu)}&0\\ 0&0&0&0&0&\frac{1-2\mu}{2(1-\mu)} \end{bmatrix}D=(1+μ)(1−2μ)E(1−μ)⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡11−μμ1−μμ0001−μμ11−μμ0001−μμ1−μμ10000002(1−μ)1−2μ0000002(1−μ)1−2μ0000002(1−μ)1−2μ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

对于体积应变 eee
e=εx+εy+εz=1−2μE(σx+σy+σz)e=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z=\frac{1-2\mu}E(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)e=εx+εy+εz=E1−2μ(σx+σy+σz)

令 Θ=σx+σy+σz\Theta =\sigma_x+\sigma_y+\sigma_zΘ=σx+σy+σz，记为体积应力，则：
e=εx+εy+εz=1−2μEΘe=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z=\frac{1-2\mu}E\Thetae=εx+εy+εz=E1−2μΘ
拉梅常数：

σx=E(1−μ)(1+μ)(1−2μ)(εx+μ1−μεy+μ1−μεz)=E(1−μ)(1+μ)(1−2μ)[εx+μ1−μ(εy+ε+εx)−μ1−μεx]=E(1−μ)(1+μ)(1−2μ)(μ1−μe+1−2μ1−μεx)=Eμ(1+μ)(1−2μ)e+E1+μεx\begin{aligned} \sigma_x &= \frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}(\varepsilon_x+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_y+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_z)\\ &=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}[\varepsilon_x+\frac\mu{1-\mu} (\varepsilon_y+\varepsilon+\varepsilon_x)-\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_x]\\ &=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}(\frac\mu{1-\mu}e+\frac{1-2\mu}{1-\mu}\varepsilon_x)\\ &=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\varepsilon_x \end{aligned}σx=(1+μ)(1−2μ)E(1−μ)(εx+1−μμεy+1−μμεz)=(1+μ)(1−2μ)E(1−μ)[εx+1−μμ(εy+ε+εx)−1−μμεx]=(1+μ)(1−2μ)E(1−μ)(1−μμe+1−μ1−2μεx)=(1+μ)(1−2μ)Eμe+1+μEεx

同理，
σy=Eμ(1+μ)(1−2μ)e+E1+μεy\sigma_y=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\varepsilon_yσy=(1+μ)(1−2μ)Eμe+1+μEεy

σz=Eμ(1+μ)(1−2μ)e+E1+μεz\sigma_z=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\varepsilon_zσz=(1+μ)(1−2μ)Eμe+1+μEεz

令
λ=Eμ(1+μ)(1−2μ)\lambda=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}λ=(1+μ)(1−2μ)Eμ

记为拉梅常数，则：
σx=λe+2Gεx\sigma_x=\lambda e+2G\varepsilon_xσx=λe+2Gεxσy=λe+2Gεy\sigma_y=\lambda e+2G\varepsilon_yσy=λe+2Gεyσz=λe+2Gεz\sigma_z=\lambda e+2G\varepsilon_zσz=λe+2Gεz

5.变形连续方程（相容方程）

微元体六个应变量必须是协调的，其存在以下关系：
∂2εx∂2y2+∂2εy∂2x2=∂2γxy∂x∂y\frac{\partial^2\varepsilon_x}{\partial^2 y^2}+\frac{\partial^2\varepsilon_y}{\partial^2 x^2}=\frac{\partial^2\gamma_{xy}}{\partial x\partial y}∂2y2∂2εx+∂2x2∂2εy=∂x∂y∂2γxy

∂2εy∂2z2+∂2εz∂2y2=∂2γyz∂y∂z\frac{\partial^2\varepsilon_y}{\partial^2 z^2}+\frac{\partial^2\varepsilon_z}{\partial^2 y^2}=\frac{\partial^2\gamma_{yz}}{\partial y\partial z}∂2z2∂2εy+∂2y2∂2εz=∂y∂z∂2γyz

∂2εz∂2x2+∂2εx∂2z2=∂2γzx∂z∂x\frac{\partial^2\varepsilon_z}{\partial^2 x^2}+\frac{\partial^2\varepsilon_x}{\partial^2 z^2}=\frac{\partial^2\gamma_{zx}}{\partial z\partial x}∂2x2∂2εz+∂2z2∂2εx=∂z∂x∂2γzx

∂∂x(∂γzx∂y+∂γxy∂z−∂γyz∂x)=2∂2εx∂y∂z\frac \partial{\partial x}(\frac{\partial\gamma_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial z}-\frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial x})=2\frac{\partial^2\varepsilon_{x}}{\partial y\partial z}∂x∂(∂y∂γzx+∂z∂γxy−∂x∂γyz)=2∂y∂z∂2εx

∂∂y(∂γxy∂z+∂γyz∂x−∂γzx∂y)=2∂2εy∂z∂x\frac \partial{\partial y}(\frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial x}-\frac{\partial\gamma_{zx}}{\partial y})=2\frac{\partial^2\varepsilon_{y}}{\partial z\partial x}∂y∂(∂z∂γxy+∂x∂γyz−∂y∂γzx)=2∂z∂x∂2εy

∂∂z(∂γyz∂x+∂γzx∂y−∂γxy∂z)=2∂2εz∂x∂y\frac \partial{\partial z}(\frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial\gamma_{zx}}{\partial y}-\frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial z})=2\frac{\partial^2\varepsilon_{z}}{\partial x\partial y}∂z∂(∂x∂γyz+∂y∂γzx−∂z∂γxy)=2∂x∂y∂2εz

这六个微分方程式又称为变形连续方程（相容方程）。当弹性体在外部载荷或温度影响下产生应力应变时：

若先求得位移分量，则可根据位移分量直接求得应变分量，满足相容条件；
若先求得应力分量，由应力推导应变，则必须验证变形连续方程，才能得到准确的位移。

6.位移分量求解应力及边界条件

σx=Eμ(1+μ)(1−2μ)e+E1+μ∂u∂x\sigma_x=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\frac{\partial u}{\partial x}σx=(1+μ)(1−2μ)Eμe+1+μE∂x∂u

σy=Eμ(1+μ)(1−2μ)e+E1+μ∂v∂y\sigma_y=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\frac{\partial v}{\partial y}σy=(1+μ)(1−2μ)Eμe+1+μE∂y∂v

σz=Eμ(1+μ)(1−2μ)e+E1+μ∂w∂z\sigma_z=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\frac{\partial w}{\partial z}σz=(1+μ)(1−2μ)Eμe+1+μE∂z∂w

τxy=E2(1+μ)(∂v∂x+∂u∂y)\tau_{xy}=\frac{E}{2(1+\mu)}(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})τxy=2(1+μ)E(∂x∂v+∂y∂u)

τyz=E2(1+μ)(∂w∂y+∂v∂z)\tau_{yz}=\frac{E}{2(1+\mu)}(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z})τyz=2(1+μ)E(∂y∂w+∂z∂v)

τzx=E2(1+μ)(∂u∂z+∂w∂x)\tau_{zx}=\frac{E}{2(1+\mu)}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})τzx=2(1+μ)E(∂z∂u+∂x∂w)

其中，e=∂u∂x+∂v∂y+∂w∂ze=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}e=∂x∂u+∂y∂v+∂z∂w。

关于其边界条件，如文章第一部分所示，主要由外界约束决定，如固定端、约束力等。这里，我们假设应力为 ppp，则：
∇p=[∂σx∂x+∂τyx∂y+∂τzx∂z∂τxy∂x+στy∂y+∂τzy∂z∂τxz∂x+∂τyz∂y+∂σz∂z]\nabla p = \left[\begin{matrix} \frac{\partial\sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} \\[1.5ex] \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\sigma\tau_{y}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z} \\[1.5ex] \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{z}}{\partial z} \end{matrix}\right] ∇p=⎣⎢⎢⎢⎡∂x∂σx+∂y∂τyx+∂z∂τzx∂x∂τxy+∂yστy+∂z∂τzy∂x∂τxz+∂y∂τyz+∂z∂σz⎦⎥⎥⎥⎤
整理为位移形式：

∇p=[(λ+G)∂e∂x+G∇2u(λ+G)∂e∂y+G∇2v(λ+G)∂e∂z+G∇2w]\nabla p = \left[\begin{matrix} (\lambda+G)\frac{\partial e}{\partial x}+G\nabla^2u\\[1.5ex] (\lambda+G)\frac{\partial e}{\partial y}+G\nabla^2v\\[1.5ex] (\lambda+G)\frac{\partial e}{\partial z}+G\nabla^2w \end{matrix}\right] ∇p=⎣⎢⎢⎡(λ+G)∂x∂e+G∇2u(λ+G)∂y∂e+G∇2v(λ+G)∂z∂e+G∇2w⎦⎥⎥⎤
参考书籍：热应力理论分析及应用