数字图像处理（6）——形态学图像处理

文章目录

数字图像处理（6）——形态学图像处理
- 1 基本概念
- 2 二值形态学基本运算
- - 2.1 膨胀（dilation）
  - 2.2 腐蚀（erosion）
  - 2.3 开和闭（opening & closing）
  - 2.4 击中与否变换（hit or miss）
- 3 二值形态学图像处理基本操作

1 基本概念

数学形态学（Mathematical Morphology, MM）是分析几何形状和结构的数学方法，建立在集合代数的基础上，用集合论方法定量描述集合结构的学科。

使用具有一定形态的结构元，去度量和提取图像中的对应形状，如边界、骨架、凸壳等，以达到对图像进行分析和识别的目的处理叫做数学形态学图像处理。其意义是简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。基本运算有膨胀、腐蚀、开启和闭合，击中击不中变换。

结构元：研究一幅图像中感兴趣特性所用的小集合或子图像。任意大小，包含任意0、1组合的一个区域。结构元中的任意一点都可以成为结构元的原点。

其中数学基础集合论的内容在这里就不过多赘述了（属于不属于，交并补，差集子集，位移映像）

2 二值形态学基本运算

2.1 膨胀（dilation）

假定A和B是z²上的两个集合，A被B（结构元）膨胀定义为：
A ⊕ B = { z ∣ ( B ) z ∩ A ≠ ∅ } A\oplus B=\{z|(B)_z\cap A\neq \varnothing \} A⊕B={z∣(B)z∩A=∅}
意思就是A被B膨胀是所有位移z的集合，B的映像与A至少有一个元素是重叠的。换言之，用 B 膨胀A 得到的集合是B的映像的位移与A至少有一个非零元素相交时B 的原点 z 位置的集合。从而上式变为：
A ⊕ B = { z ∣ [ ( B ) z ∩ A ] ⊆ A } A\oplus B=\{z|[(B)_z\cap A]\subseteq A\} A⊕B={z∣[(B)z∩A]⊆A}
那么基于向量的膨胀操作为
A ⊕ B = { x ∣ x = a + b , a ∈ A , b ∈ B } A\oplus B=\{x|x=a+b,a\in A ,b\in B\} A⊕B={x∣x=a+b,a∈A,b∈B}
基于位移运算的膨胀操作为
A ⊕ B = ⋃ b ∈ B ( A ) b A\oplus B=\bigcup _{b\in B}(A)_b A⊕B=b∈B⋃(A)b

膨胀的作用：

1.用3x3的结构元时，物体的边界沿周边增加一个像素

2.把目标周围的背景点合并到目标中，目标之间存在细小的缝隙，膨胀可能将不同目标连通在一起

3.填补分割后物体中的空洞

2.2 腐蚀（erosion）

假定A和B是z²上的两个集合，A被B腐蚀定义为：
A ⊖ B = { z ∣ ( b ) z ⊆ A } A\ominus B=\{z|(b)_z\subseteq A\} A⊖B={z∣(b)z⊆A}
可以理解为A 被 B 腐蚀是所有位移z的集合，其中B 平移z 后仍包含于A中。换言之，用B腐蚀A得到的集合是B完全包含在A中时B的原点位置的集合。

那么基于向量的腐蚀操作为
A ⊖ B = { x ∣ x + b ∈ A , b ∈ B } A\ominus B=\{x|x+b\in A,b\in B \} A⊖B={x∣x+b∈A,b∈B}
基于位移的腐蚀操作为
A ⊖ B = ⋂ b ∈ B ( A ) − b A\ominus B=\bigcap_{b\in B}(A)_{-b} A⊖B=b∈B⋂(A)−b

腐蚀的作用：

1.用3x3的结构元时，物体的边界沿周边减少一个像素

2.消除掉图像中小于结构元大小的目标物体

3.若物体之间有细小的连通，选择适当的结构元，可以将物体分开

4.不同的结构元及其不同的原点，产生不同的结果

2.3 开和闭（opening & closing）

开运算：
A ∘ B = ( A ⊖ B ) ⊕ B A\circ B=(A\ominus B)\oplus B A∘B=(A⊖B)⊕B
相当于先用结构元B对A进行腐蚀在进行膨胀。

闭运算：
A ∙ B = ( A ⊕ B ) ⊖ B A\bull B=(A\oplus B)\ominus B A∙B=(A⊕B)⊖B
相当于先用结构元B对A进行膨胀在进行腐蚀。

开闭运算的基本作用

开运算通常对图像轮廓进行平滑，使狭窄的“地峡”形状断开，去掉细的突起。

闭运算也是趋于平滑图像的轮廓，但于开运算相反，它一般使窄的断开部位和细长的沟熔合，填补轮廓上的间隙。

2.4 击中与否变换（hit or miss）

击中击不中变换需要两个结构基元E和F，这两个基元被作为一个结构元对 B=(E, F)，一个探测图像内部，一个探测图像外部，其定义为：
A ⊛ B = ( A ⊖ E ) ∩ ( A c ⊖ F ) , E ∩ F = ∅ A\circledast B=(A\ominus E)\cap(A^c\ominus F) \ ,\ E\cap F= \varnothing A⊛B=(A⊖E)∩(Ac⊖F) , E∩F=∅

3 二值形态学图像处理基本操作

◼ 边界抽取 (boundary extraction)

令集A的边界为 β ( A ) \beta(A) β(A), 其可以用某一合适的结构元素B对A先进行腐蚀，然后再把A减去腐蚀的结果来获得。

◼ 区域填充 (region filling)

区域用1填充，非边界点为0

◼ 连接分量提取 (extraction of connected components)

◼ 凸壳算法 (convex hull)

◼ 细化 (thinning)

◼ 粗化 (thickening)

◼ 骨架 (skeletons)

◼ 修剪 (pruning)