一、问题描述

在道路网中，已知OD需求，路段走行时间，路段能力和路径路段关系，求流量的均衡分配结果。

二、算法描述

此处只给出大的步骤，精确的算法描述见第三节——算法程序。

step1:给定路网数据，OD需求，路段能力

step2:自动求出路径和路段数量，根据路段数量定义路段名，给定初始数据

step3:构造阻抗函数并求出初始阻抗，此处用BPR函数

step4:全有全无配流

step5:数据更新

step6:求目标函数值

step7:输出计算结果

三、算法程序

clear
clc
disp('========================================================================');
disp('                      《基于BPR函数的Frank Wolfe算法》');
disp('运行环境：MATLAB 8.3.0.532 ');
disp('制 作 人：兰州交通大学   刘志祥');
disp('Q      Q:531548824');
disp('=========================================================================');%% 1 给定路网数据，OD需求，路段能力
%算例1
%==========================================================================
% Q=1000;
% W=[5 6 6 8 3];
% Cmax=[600 500 600 500 700];
% Mxf=[1 0 0 1 0;1 0 1 0 1;0 1 0 0 1];
%==========================================================================%算例2
%==========================================================================
Q=3000;                                 %OD需求
W=[5 9 6 7 1];                          %路段初始阻抗
Cmax=700*ones(1,5);                     %路段能力
Mxf =[1 0 0 1 0;0 1 0 0 1;1 0 1 0 1];   %路径路段0-1关系
%==========================================================================%% 2 自动求出路径和路段数量，根据路段数量定义路段名，给定初始数据
%==========================================================================
numf=size(Mxf,1);
numx=size(Mxf,2);
syms lambda real
for i=1:numxsyms x(i) real;
end
cont=0;
e=inf;
x=x(1:numx);
X0=zeros(1,numx);
t=zeros(1,numx);
%==========================================================================%% 3 构造阻抗函数并求出初始阻抗，此处用BPR函数
%==========================================================================
t=W.*(1+0.15*(x./Cmax).^4);            %路段走行时间函数
tt=t;
t=W.*(1+0.15*(X0./Cmax).^4);
Ckrs=(Mxf*t')';                        %路径的走行时间初值
%==========================================================================%% 4 全有全无配流
%==========================================================================
[Min,index]=min(Ckrs);
X1=Mxf(index,:).*Q;                    %全有全无法为最短路径上的路段分配流量
%==========================================================================%% 5 数据更新
%==========================================================================
while e>1e-3                           %精度判断cont=cont+1;                       %迭代次数更新t=(W).*(1+0.15*(X1./Cmax).^4);     %路段时间跟新Ckrs=(Mxf*t')';                    %路径时间更新[Min,index]=min(Ckrs);Y1=Mxf(index,:).*Q;                %全有全无法求辅助流量S=Y1-X1;                           %搜索方向X2=X1+lambda*S;                    %先将X2用X1和lambda进行表达t=(W).*(1+0.15*(X2./Cmax).^4);     %含lambda的阻抗表达f=sum(S.*t,2);                     %2表示按行求和lambda1=double(solve(f));          %求解方程，确定步长。k=length(lambda1);                 %如步长lambda1的解不唯一，取实数，且大于0小于1；for m=1:kif lambda1(m,1)>=0&&lambda1(m,1)<=1lambda2=lambda1(m,1);endendX2=X1+lambda2*S;                   %得到下一步的流量值，且进行下一次迭代e=sqrt(sum((X2-X1).^2))/sum(X1);   %精度计算X1=X2;                             %流量更新
end
%==========================================================================%% 6 求目标函数值
%==========================================================================
Xx=zeros(numx,1);                      %积分下界
Xn=X1;                                 %积分上界
Zf=zeros(numx,1);                      %目标值元素初始化
for i=1:numxZf(i)=int(tt(i),Xx(i),Xn(i));      %对每一个路径积分
end
Z=sum(Zf);                             %总目标=各路径阻抗求和
%==========================================================================%% 7 输出计算结果
%==========================================================================
disp('*************************************************************************')
disp(['     迭代次数：',num2str(cont)]);
disp(['     误 差 值：',num2str(e)]);
disp(['     配流结果：',num2str(Xn)]);
disp(['     路径阻抗：',num2str(Ckrs)]);
disp(['     目 标 值：',num2str(Z)]);
disp('*************************************************************************')
%==========================================================================

四、算例及运行结果

1.算例

路网如图1，已知起点v1，终点v4，路段编号如图1所示，路段初始阻抗为W=[5 9 6 7 1]，对应的路段能力为Cmax=[500 700 800 600 700]，求流量分配结果。

2.运行结果

>> Frank_wolfe_BPR_jingdian

========================================================================《基于BPR函数的Frank Wolfe算法》
运行环境：MATLAB 8.3.0.532
制 作 人：兰州交通大学   刘志祥
Q      Q:531548824
=========================================================================
*************************************************************************迭代次数：13误 差 值：0.00083827配流结果：1347.6659      1652.3341      304.76636      1042.8996      1957.1004路径阻抗：61.5966      60.7377      61.0709目 标 值：62802.3986
*************************************************************************

3.数据整理

路段流量表
路段 a1 a2 a3 a4 a5
流量 1347.7 1652.3 304.8 1042.9 1957.1

五、结论及展望

基于BPR函数的FW算法是科学有效的配流算法，可以看到最终3条路径的阻抗基本相等，这符合均衡配流的预期结果。

六、代码下载

代码下载地址：待更新...

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