原标题：表面积和体积，就没见过这么耐心的解释！

公众号：“素人素言”，作者：彭西东

写在篇首

好多天了，都想写一期关于表面积和体积的东西。

主要还是源于高一新生初识立几，想给他们增加一点空间想象力的素材。

只是，苦于一直没有时间，

所以，断断续续的，这一篇就写了好几天了吧。

因为不是一气呵成，思路就有些不连贯，

但总体来说，对于学生和一线教师，也还是有值得一看的地方。

从展开图看几何体表面积

基本要求：

①理解柱、锥、台体的侧面展开图；

②掌握柱、锥、台、球表面积常用公式；

③能计算简单组合体的表面积。

直棱柱展开

直棱柱的侧面展开后，整体的外观形状是矩形。

所以，直棱柱的表面积就比较方便计算了，

直棱柱表面积=侧面积+2×底面积

直棱柱侧面积=底面周长×棱柱高

斜棱柱侧面展开

斜棱柱的侧面展开，整体上看，就 不是那样规则的平面图形了。

就象上面这个斜六棱柱，展开后给人的感觉，歪七扭八的，挺不规则。

因此，它的侧面积，也只能逐个计算，毫无章法可言。

不过，这还是幸亏各个侧面还是平行四边形。

棱锥侧面展开

正棱锥的侧面展开确实也还算是规则的，毕竟各个三角形的底和高都是一样的，甚至给人一种扇形的感觉。

或者，给人一种什么LOGO的感觉？

所以，它的表面积也从来没有愁煞人的。

但是，一般棱锥的展开，是不是就会让人纠心了呢？

确实，不仅展开后各三角形的排列毫无规则，而且最要命的，它们的面积也不是一般的学生可以计算的吧。

因为，在没有学习三角函数知识之前，好象他们只会求解等腰或直角三角形面积。

正方体展开

正方体的展开，确实就让人心旷神怡了。

不仅因为各面都是正方形，

更因为，正方体的展开多达十一种姿势呢。

我想，有能力的同学，能够凭借自己的想象，做出这11种展开图，也一定算是一种高水平了。

至少，可能比我这个老师强。

所以，正方体的展开图，曾经就是一个很火的网红话题。

而且，年少轻狂时，就曾经不厌其烦的研究这个话题，

也确实是很有成就感的。

正方体十一种展开图

圆锥侧面展开

圆锥，一定是大家所熟知的一个旋转体，

而且也知道，它的侧面，展开后是一个扇形。

涉及到相关的计算，其实也并没有什么稀奇。

圆锥表面积=底面面积+侧面积

扇形弧长=圆锥底面圆周长

扇形半径=圆锥母线长

因为，有了这些，就完全可以肆无忌惮了。

圆锥展开

圆锥

圆柱侧面展开

圆柱是由矩形经过旋转而形成的。

它的侧面展开更是我们所喜欢的 长方形(矩形)。

当然，要想计算好，也还是要一定的准备知识。

圆柱表面积=两底面面积+侧面积

矩形长=圆柱底面圆周长

矩形宽=圆柱的高(母线长)

圆柱展开

圆柱

这样，对于圆柱，是不是就高枕无忧了呢？

其实，圆锥和圆柱，以后还有一个更重要的作用，

传说中学生最忌惮的 圆锥曲线，其实就是它们派生出来的小恶魔。

球的展开

球是由 曲线半圆或圆旋转线而成的，

所以，它的展开其实并不容易。

甚至可以说，球是不能完全展开成平面图形的。

这就象一个足球，我们就很难将它剪开、无皱褶的平摊在桌面上的。

当然，如果真的想要将其展开的话，数学老师则是有更高更妙的方法。

例如采用下面的这样的手段，就可以达到很完美。

足球的展开

其实，球的表面积和体积公式的推导，在我们以后学习了《数列》后，你也可以如我一样潇洒的掌握。

而且通过尝试，也可以检验下自己的计算和思维水平。

当然现在，关于面积，

你只需记住面积公式就可以了：

球的表面积=4πr 2

另外，也强烈建议，务必熟知球中的基本图形，

也就是构造的那个直角三角形。

几何体的体积计算

长方体的体积

其实，我们打小就知道，长方体的体积：

V=底面积×高

我想说的是，

在长方体中常见的计算，一定还有 体对角线：

BD' 2 =a 2 +b 2 +c 2

意思就是， 体对角线的平方，等于各边的平方和。

只是让我蒙圈的是，

那天上课，问到对角线的问题，竟然很多学生觉得很无辜。

所以，千万不要高估，义务教育阶段的水平。

棱柱的体积

长方体是一个极特别的棱柱。

其实，和长方体一样，无论直棱柱或斜棱柱，它的体积也都是：

V=底面积×高

只是直棱柱的高即为侧棱长，而斜棱柱的高，需要构造三角形去计算。

棱锥体积

都知道棱锥的体积：

其实就是说，

棱锥的体积是同底等高棱柱体积的三分之一。

可是，你真的确定，这个“ 三分之一”的出处？

旋转体体积

其实，圆柱、圆锥的体积和棱柱、棱锥相同：

而且这样，记忆起来会更方便和简洁。

球的体积

球的体积，说难也易 ，其实只要做些技术处理。

就象图示，切割求和而得之。

但毕竟，需要用到极限和数列的后备知识，

想想还是老老实实加强记忆。

台体

有同学问，老师为什么不说棱台和圆台呢？

其实，熟悉了锥体，台体就从来没有成为问题。

根据定义，

台体体积=大锥体体积 -小锥体体积

只是在计算的过程中，可能会用到 三角形的相似比。

至于书中介绍的体积公式，我一般是装作很无知的……

组合体的表面积和体积

组合体

组合体是由一个几何体通过切割或者多个几何体通过拼接而形成的几何体。

其实，这种组合体的表面积和体积的计算，主要考查的还是对图形的空间想象。

就象是上面这两个组合体，如果求表面积，主要就是考虑两个几何体拼接处的面积处理了。

先秀一下我作图的基本功。

但上面这个几何体，作为高中生，也应该能想象出其基本构造的。

如果告之其相关尺寸，也一定可以求出其表面积或体积的吧。

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