集合相关公式的证明

公式

{1）S∪T=T∪S2）S∩T=T∩S3）A∩(B∩C)=(A∩B)∩C4）A∪(B∪C)=(A∪B)∪C5）A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6）A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)7）(A∩B)C=AC∪BC8）(A∪B)C=AC∩BC\ \begin{cases} 1）S\cup T = T\cup S \\2）S\cap T = T \cap S \\3）A\cap(B\cap C) = (A\cap B)\cap C \\4）A\cup(B\cup C) = (A\cup B)\cup C \\5）A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\\6）A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\\7）(A\cap B)^{C} = A^C\cup B^C\\8）(A\cup B)^{C} = A^C\cap B^C \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1）S∪T=T∪S2）S∩T=T∩S3）A∩(B∩C)=(A∩B)∩C4）A∪(B∪C)=(A∪B)∪C5）A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6）A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)7）(A∩B)C=AC∪BC8）(A∪B)C=AC∩BC

证明

1）
1、左⊂右1、左\subset 右1、左⊂右
~~~~~      对于∀x∈(S∪T)，有x∈S或x∈T对于∀x\in (S\cup T)，有x\in S或x\in T对于∀x∈(S∪T)，有x∈S或x∈T
~~~~~      即有对于∀x∈(S∪T)，有x∈T或x∈S即有对于∀x\in (S\cup T)，有x\in T或x\in S即有对于∀x∈(S∪T)，有x∈T或x∈S
~~~~~      即有x∈(T∪S)即有x\in (T\cup S)即有x∈(T∪S)
2、右⊂左2、右\subset 左2、右⊂左
~~~~~      对于∀x∈(T∪S)，有x∈T或x∈S对于∀x\in (T\cup S)，有x\in T或x\in S对于∀x∈(T∪S)，有x∈T或x∈S
~~~~~      即有对于∀x∈(T∪S)，有x∈S或x∈T即有对于∀x\in (T\cup S)，有x\in S或x\in T即有对于∀x∈(T∪S)，有x∈S或x∈T
~~~~~      即有x∈(S∪T)即有x\in (S\cup T)即有x∈(S∪T)
~~
~~
2）
1、左⊂右1、左\subset 右1、左⊂右
~~~~~      对于∀x∈(S∩T)，有x∈S且x∈T对于∀x\in (S\cap T)，有x\in S且x\in T对于∀x∈(S∩T)，有x∈S且x∈T
~~~~~      即有对于∀x∈(S∩T)，有x∈T且x∈S即有对于∀x\in (S\cap T)，有x\in T且x\in S即有对于∀x∈(S∩T)，有x∈T且x∈S
~~~~~      即有x∈(T∩S)即有x\in (T\cap S)即有x∈(T∩S)
2、右⊂左2、右\subset 左2、右⊂左
~~~~~      对于∀x∈(T∩S)，有x∈T且x∈S对于∀x\in (T\cap S)，有x\in T且x\in S对于∀x∈(T∩S)，有x∈T且x∈S
~~~~~      即有对于∀x∈(T∩S)，有x∈S且x∈T即有对于∀x\in (T\cap S)，有x\in S且x\in T即有对于∀x∈(T∩S)，有x∈S且x∈T
~~~~~      即有x∈(S∩T)即有x\in (S\cap T)即有x∈(S∩T)
~~
~~
5)
利用集合相等的等价条件来证明：利用集合相等的等价条件来证明：利用集合相等的等价条件来证明：
1、左⊂右1、左\subset 右1、左⊂右
~~~~~      设x∈A∩(B∪C),则x∈A或者((x∈B)且(x∈C))设~x\in A\cap(B\cup C),则x\in A~或者~((x\in B)且(x\in C))设 x∈A∩(B∪C),则x∈A 或者 ((x∈B)且(x∈C))
~~~~~      故x∈A∪B且x∈A∪C故~x\in A\cup B~且~x\in A\cup C故 x∈A∪B 且 x∈A∪C
~~~~~      即x∈(A∪B)∩(A∪C)即~x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)即 x∈(A∪B)∩(A∪C)
~~~~~      即A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪(A∩C)即~A\cap(B\cup C) \subset (A\cap B)\cup (A\cap C)即 A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪(A∩C)
2、右⊂左2、右\subset 左2、右⊂左
~~~~~      设x∈(A∩B)∪(A∩C),则x∈A∪B且x∈A∪C设~x\in (A\cap B)\cup (A\cap C),则~x\in A\cup B且x\in A\cup C设 x∈(A∩B)∪(A∩C),则 x∈A∪B且x∈A∪C
~~~~~      要么x∈A,要么(x∈B且x∈C)要么~x\in A,要么(x\in B且x\in C)要么 x∈A,要么(x∈B且x∈C)
~~~~~      则x∈A∩(B∪C)则~x\in A\cap(B\cup C)则 x∈A∩(B∪C)
~~~~~      即(A∩B)∪(A∩C)⊂A∩(B∪C)即 ~(A\cap B)\cup (A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)即 (A∩B)∪(A∩C)⊂A∩(B∪C)
~~
~~
8）
利用集合相等的等价条件来证明利用集合相等的等价条件来证明利用集合相等的等价条件来证明
1、左⊂右1、左\subset 右1、左⊂右
~~~~~      设(A∪B)C,则x∉(A∪B)设(A\cup B)^{C} ,则x\notin (A\cup B)设(A∪B)C,则x∈/(A∪B)
~~~~~      故x∉A且x∉B故~x\notin A~且~x\notin B故 x∈/A 且 x∈/B
~~~~~      即x∈AC∩BC即~x\in A^C\cap B^C即 x∈AC∩BC
~~~~~      即(A∪B)C⊂x∈AC∩BC即~(A\cup B)^{C}\subset x\in A^C\cap B^C即 (A∪B)C⊂x∈AC∩BC
2、右⊂左2、右\subset 左2、右⊂左
~~~~~      设x∈AC∩BC,则x∉A且x∉B设x\in A^C\cap B^C,则x\notin A~且~x\notin B设x∈AC∩BC,则x∈/A 且 x∈/B
~~~~~      故x∉(A∪B)故x\notin (A\cup B)故x∈/(A∪B)
~~~~~      即(A∪B)C即~(A\cup B)^{C}即 (A∪B)C
~~~~~      即AC∩BC⊂(A∪B)C即A^C\cap B^C\subset (A\cup B)^{C}即AC∩BC⊂(A∪B)C

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