数字游戏(number)

题目大意

不高兴找到了一个N行M列的矩阵。矩阵的第一行数字为 1，2，3，...，M1，2，3，...，M1，2，3，...，M，第二行数字为 M+1，M+2，...，2×MM+1，M+2，...，2 \times MM+1，M+2，...，2×M，第 NNN 行数字为 (N−1)×M+1，(N−1)×M+2，...，N×M(N-1)\times M+1，(N-1) \times M+2，...，N \times M(N−1)×M+1，(N−1)×M+2，...，N×M。

例如，对于 N=3，M=4N=3，M=4N=3，M=4 ：

1  2  3  4
5  6  7  8
9 10 11 12

当然这样的矩阵是无趣的，所有他选择了其中一行或一列，将其乘以非负数，会进行 KKK 次。最后他想知道矩阵中所有值的总和。由于总和可能会很大，需要总和模109+7。\color{red}{由于总和可能会很大，需要总和模 \ 10^9+7。}由于总和可能会很大，需要总和模 109+7。

数据范围：

对于 50%50\%50% 的数据，1<=N,M<=10001<=N,M<=10001<=N,M<=1000。

对于 100%100\%100% 的数据，1<=N,M<=1000000,1<=K<=1000,0<=X,Y<=1091<=N,M<=1000000,1<=K<=1000,0<=X,Y<=10^91<=N,M<=1000000,1<=K<=1000,0<=X,Y<=109。

解题思路

注意：由于本蒟蒻的习惯，可能会对大家造成影响。

∑i=1n→\sum_{i=1}^{n} \to∑i=1n→ 这是求和。

∑i=1n→\sum\limits_{i=1}^{n} \toi=1∑n→ 这是循环。

一开始可以想到对于所有操作，暴力修改一遍，时间复杂度为 O(nk)O(nk)O(nk)，可拿 50pts50pts50pts。(艹，为什么模拟赛时没打暴力？我是sb吗？？？

继续思考，显然可以将所有的操作全部合起来，搞一个离线算法。

即记 hangihang_ihangi 为第 iii 行要乘上的非负数，lieilie_iliei 为第 iii 列要乘上的非负数。

由于我们不能同时修改行和列，所以先选个修改列，再修改行吧。

此时可以发现，对于原矩阵 aaa，ai,j=ai−1,j+ma_{i,j} = a_{i-1,j} + mai,j=ai−1,j+m，所以在原矩阵中，第 iii 行比第 i−1i-1i−1 行多 m2m^2m2，因此可以将第一行当做基准，依次求得第二行，第三行…第 nnn 行。

1    2    3    4
1+m  2+m  3+m  4+m
1+2m 2+2m 3+2m 4+2m

发现规律后，就可以开始修改列了，此时又可以发现，对于修改完列后的矩阵 bbb，bi,jb_{i,j}bi,j 比 bi−1,jb_{i-1,j}bi−1,j 多 m×liejm\times lie_jm×liej，第 iii 行比第 i−1i-1i−1 行多 a=∑k=1mliek×ma=\sum_{k=1}^{m} lie_k \times ma=∑k=1mliek×m。

显然对于修改列后的矩阵 bbb，每一行的相差数也是不变的。

例如将第 222 列乘上 222：

1  4  3  4
5 12  7  8
9 20 11 12

此时 lielielie 数组为

1 2 1 1

则 bi,j=bi−1,j+m×liejb_{i,j} = b_{i-1,j}+m\times lie_jbi,j=bi−1,j+m×liej。

先计算修改完列后的矩阵 bbb 第 111 行的和为 b=∑k=1mliek×ib=\sum_{k=1}^{m} lie_k \times ib=∑k=1mliek×i（ iii 为原矩阵 aaa 第 111 行的数）。

由上可得，修改完列后的矩阵 bbb 第 iii 行的和为 b+a×(i−1)b+a \times (i-1)b+a×(i−1)。

则答案矩阵 ccc 第 iii 行的和就为修改完列后的矩阵 bbb 第 iii 行的和乘上 hangihang_ihangi，即为 b+a×(i−1)×hangib+a \times (i-1) \times hang_ib+a×(i−1)×hangi

此时已经可以求得修改完列后的矩阵 bbb 每一行的和了，乘上 hangihang_ihangi 再累加就结束了。

然后，就没有然后了。

十年OI一场空，不开longlong见祖宗\color{red}{十年 \ OI \ 一场空，不开 \ long \ long \ 见祖宗}十年 OI 一场空，不开 long long 见祖宗

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int mod = 1e9 + 7;
using namespace std;int n, m, k;
int a, b, ans;
int lie[1000005], hang[1000005];signed main()
{scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);for(int i = 1; i <= m; ++i) lie[i] = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i) hang[i] = 1;for(int i = 1; i <= k; ++i){char c[5];int a, b;scanf("%s", c);scanf("%lld%lld", &a, &b);if(c[0] == 'R') hang[a] = hang[a] * b % mod;else lie[a] = lie[a] * b % mod;}for(int i = 1; i <= m; ++i){a = (a + lie[i] * m % mod) % mod;// a += lie[i] * m;// 修改完列的矩阵 b 每一行的相差数。b = (b + lie[i] * i % mod) % mod;// b += lie[i] * i;// 求修改完列的矩阵 b 的第一行的和。}for(int i = 1; i <= n; ++i){ans = (ans + (b + a * (i - 1) % mod) * hang[i] % mod) % mod;// ans += b + a * (i - 1) * hang[i];// 求答案，这不用说了吧。}printf("%lld", ans % mod);return 0;
}