UVa 12911 Subset Sum

本题无法通过动态规划予以解决。

由于本题中 NNN 最大为 404040，生成所有子集显然不可行，需要适当变通。实际上，我们可以将数组分成两个数组 AAA 和 BBB，其大小只相差 111，分别生成 AAA 和 BBB 的所有子集和，由于 NNN 最大为 404040，则 AAA 的大小最大为 202020，AAA 中不同的子集和最多有 2202^{20}220 个，这是可行的。

对于数组 AAA 的每个子集和 sss，在数组 BBB 的子集和中查找 T−sT - sT−s 是否存在，若存在，则将数组 AAA 中子集和 sss 的数量 CsC_{s}Cs 乘以数组 BBB 中子集和 T−sT - sT−s 的数量 CT−sC_{T-s}CT−s，这就是对总方案数的贡献，逐个处理数组 AAA 的所有子集和累加即可，算法的时间复杂度为 O(N×2N/2)O(N \times 2^{N/2})O(N×2N/2)。

可以使用 C++\texttt{C++}C++ STL\texttt{STL}STL 中的映射（map\texttt{map}map）来存储子集和的个数。
需要注意，在解题过程中还需考虑子集不能为空。

// Subset Sum
// UVa ID: 12911
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2021-11-11
// UVa Run Time: 1.630s
//
// 版权所有（C）2021，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int N, T, si[41];
map<long long, int> Ca, Cb;int main(int argc, char *argv[])
{cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);while (cin >> N >> T){for (int i = 0; i < N; i++) cin >> si[i];int Na = N / 2;if (Na == 0) Na++;int Nb = N - Na;Ca.clear();for (int i = 1; i < (1 << Na); i++){long long sum = 0;for (int j = 0; j < Na; j++)if (i & (1 << j))sum += si[j];Ca[sum]++;}Cb.clear();for (int i = 1; i < (1 << Nb); i++){long long sum = 0;for (int j = 0; j < Nb; j++)if (i & (1 << j))sum += si[Na + j];Cb[sum]++;}long long cnt = 0;for (auto p : Ca)if (Cb.count(T - p.first))cnt += 1LL * p.second * Cb[T - p.first];cout << cnt + Ca[T] + Cb[T] << '\n';}return 0;
}

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