大家好，欢迎收看我的百家号小林看天下事，今天小编要给大家的介绍的是纳维-斯托克斯方程的来源。

纳维-斯托克斯方程

纳维-斯托克斯方程算是复杂得让人抓狂的那类数学等式,可这三个方程偏偏又是不可或缺的,不但影响着轮船和飞机的制造,而且地球的天气系统每天如何运行也要靠它们才能模拟。科学家现在采用功能强大的计算机来解这些方程。1759年,瑞士数学家莱昂哈德·欧拉( Leonhard euler)推导出了套描述流体流动的方程。用数学的语言来说,流体是连续的非刚体物质。它可能是液体,比如流经船体的水,也可能是气体,比如管道中流动的空气。牛顿第二运动定律表明,作用在物体上的力等于物体的质量乘以加速度。

欧拉在此基础上对流体行为进行了研究,得出了一套方程。欧拉的方程完全正确,但只适用于无黏性流体,也就是黏性为零的流体。黏性是量化流体有多黏的一种属性,比如糖浆的黏性较高,而水的黏性就较低。几乎所有流体都有不同程度的黏性,这使得欧拉方程的应用很有限。要给黏性流体进行数学建模并不简单。1822年,法国工程师克劳德·纳维( Claude navier)成了完成此举的第一人。但纳维的方程也不能概括所有的情况,尽管方程考虑到了黏性的因素,但只适用于不可压缩的流体,也就是说流体的密度不能改变。

换句话说,方程不适用于被挤压的流体。把手指放在自行车打气筒一端,压缩气筒里的空气,这时你的手指就能感到气筒上有一点弹性—空气是可压缩的。几乎所有其他的流体都是可压缩的。1845年,爱尔兰数学家乔治·斯托克斯( George Stokes)找到了方法,在流体数学中表现压缩性。斯托克斯在纳维的方程中加入了压缩性,得到了新的方程。这组方程被称为纳维一斯托克斯方程,是奠定流体动力学基础的方程。它们描述了空气如何流经车辆,液体如何在管道中流动,也决定了诸如洋流和大气流动等气候和气象现象的规律。

偏微分

纳维-斯托克斯方程是将流体黏性和流体密度联系起来的偏微分方程。17世纪时,牛顿和莱布尼茨在计算数学量变化率的过程中,引入了微积分的计算方法。微分方程就是微积分计算发展的结果。普通的微分方程解决的是相对单个自变量(比如时间)的变化率,而偏微分方程则包含多个变量。纳维一斯托克斯方程就是后一种方程,它表示黏性和密度怎样随着时间和三维空间而变化。

这组方程体现了牛顿运动定律,也体现了能量守恒和动量守恒的定律。而且纳维一斯托克斯方程还通常辅以连续性方程,连续性方程表示质量守恒定律——流体的总质量必须保持不变。通过解纳维-斯托克斯方程,我们就可以知道在流体内部,从这点到另一点,从这一刻到那一刻,黏性和密度是如何改变的。然而,该方程组极度复杂,用传统的纸笔计算是不可能解出来的,除非是最简单的情况。这组方程之所以如此复杂,是因为它们是非线性的,牵扯到流体黏性的平方,这就让纳维一斯托克斯方程相当不好对付。

计算机的威力

经过艰苦努力,纳维一斯托克斯方程的数值解已经取得了一定进展。根据流体流动的不同行为,该方程的数值解通常可分为两类。如果流体平滑流动,那就叫做层流。流体分层流动,互不混合,比如空气流经机翼。与此相对的是湍流,湍流是混沌理论的体现。混沌理论认为,某些物理系统对其初始状态极其敏感。在湍流的情况下,流体的流动看起来杂乱无章,坐飞机遇到过湍急气流的人都能明白这一点。通常,流体经过固体障碍物时会发生层流,而通过自由空间时往往会发生湍流。层流流体中紧贴着障碍物的部分叫做边界层。由于边界层紧贴着障碍物表面,所有其流速低于其他地方。最小化边界层的厚度就可以减少阻力,这是空气动力学的一个重要考虑因素。这也是高尔夫球上有小坑的原因:比起纯圆的球,有小坑的球边界层较薄,可以减少阻力,从而让球飞得更远。

曲线球

边界层理论也可以解释足球运动中为什么能踢出弧线球。踢在球的一侧,球在旋转的过程中会与空气形成空气边界层。空气边界层紧贴着旋转的足球,让一边的空气减速,另一边的加速。类似于伯努利原理解释飞机如何产生升力(让机翼上方的空气速度高于下方的空气速度),足球两侧的空气速度不同,产生的作用力使足球在空中沿曲线运动。尽管人们用世界上最强大的超级计算机对纳维斯托克斯方程进行了大量的研究,从层流到湍流的过渡机理却还不甚明朗,而湍流对航天和航海设计的很多方面都至关重要。因此,为了激励全世界顶尖的数学家和物理学家,马萨诸塞州剑桥市的克雷数学研究所在自己设立的千禧年大奖难准题中,便包括了理解纳维一斯托克斯方程中的湍流问题。成功解决此问题的人可获得100万美元的奖金。截至此书写作时,还未有人认领此奖金。