【TJOI 2019】唱、跳、rap和篮球

传送门

problem

大中锋的学院要组织学生参观博物馆，要求学生们在博物馆中排成一队进行参观。
他的同学可以分为四类：一部分最喜欢唱、一部分最喜欢跳、一部分最喜欢 rap，还有一部分最喜欢篮球。

若队列中 k,k+1,k+2,k+3k,k+1,k+2,k+3k,k+1,k+2,k+3 位置上的同学依次，最喜欢唱、最喜欢跳、最喜欢 rap、最喜欢篮球，他们就会聚在一起讨论蔡徐坤。
大中锋不希望这种事情发生，因为这会使得队伍显得很乱。

大中锋想知道有多少种排队的方法，不会有学生聚在一起讨论蔡徐坤。
两个学生队伍被认为是不同的，当且仅当两个队伍中至少有一个位置上的学生的喜好不同。
由于合法的队伍可能会有很多种，种类数对 998244353998244353998244353 取模。

学生中最喜欢唱的人数、最喜欢跳的人数、最喜欢 rap 的人数和最喜欢篮球的人数分别为 A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D。

数据范围：n≤1000n≤1000n≤1000，A,B,C,D≤500A,B,C,D≤500A,B,C,D≤500。

solution

为了方便，我们把要讨论蔡徐坤的段称为 “““cxk 段”””。

那么一个比较显然的思路就是枚举 cxk 段的数量然后容斥。从nnn 个数中选 iii 个 cxk 段的方案数是 Cn−3iiC_{n-3i}^{i}Cn−3ii，因为每个 cxk 段占 444 个位置，那么段头只能在 n−3in-3in−3i 个位置里面选，所以：

ans=∑i=0min⁡(a,b,c,d,⌊n4⌋)(−1)i(n−3ii)fians=\sum_{i=0}^{\min(a,b,c,d,\lfloor\frac n 4\rfloor)}(-1)^i\binom {n-3i} i f_ians=i=0∑min(a,b,c,d,⌊4n⌋)(−1)i(in−3i)fi

其中 fif_ifi 表示在剩下的 n−4in-4in−4i 个位置上选人的方案数。现在每个部分剩下的人分别有 A−i,B−i,C−i,D−iA-i,B-i,C-i,D-iA−i,B−i,C−i,D−i 个。

这就相当于求有重复元素的排列。

如果 A+B+C+D=nA+B+C+D=nA+B+C+D=n 的话，这一部分贡献应是 (n−4i)!(A−i)!(B−i)!(C−i)!(D−i)!\frac{(n-4i)!}{(A-i)!(B-i)!(C-i)!(D-i)!}(A−i)!(B−i)!(C−i)!(D−i)!(n−4i)!。

那么如果 A+B+C+D>nA+B+C+D>nA+B+C+D>n 的话，我们直接枚举，即：

fi=∑a=0A−i∑b=0B−i∑c=0C−i∑d=0D−i[a+b+c+d=n−4i](n−4i)!a!b!c!d!=(n−4i)!∑a=0A−i∑b=0B−i∑c=0C−i∑d=0D−i[a+b+c+d=n−4i]1a!1b!1c!1d!\begin{aligned} f_i&=\sum_{a=0}^{A-i}\sum_{b=0}^{B-i}\sum_{c=0}^{C-i}\sum_{d=0}^{D-i}[a+b+c+d=n-4i]\frac{(n-4i)!}{a!b!c!d!}\\ &=(n-4i)!\sum_{a=0}^{A-i}\sum_{b=0}^{B-i}\sum_{c=0}^{C-i}\sum_{d=0}^{D-i}[a+b+c+d=n-4i]\frac{1}{a!}\frac{1}{b!}\frac{1}{c!}\frac{1}{d!} \end{aligned}fi=a=0∑A−ib=0∑B−ic=0∑C−id=0∑D−i[a+b+c+d=n−4i]a!b!c!d!(n−4i)!=(n−4i)!a=0∑A−ib=0∑B−ic=0∑C−id=0∑D−i[a+b+c+d=n−4i]a!1b!1c!1d!1

这是一个四维的卷积，直接 nttnttntt 做就可以了。

时间复杂度 O(n2log⁡n)O(n^2\log n)O(n2logn)。

code

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 5005
#define P 998244353
using namespace std;
typedef vector<int> poly;
const int g=3;
int n,a,b,c,d,up,ans,pos[N],fac[N],ifac[N];
int add(int x,int y)  {return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
int dec(int x,int y)  {return x-y< 0?x-y+P:x-y;}
int mul(int x,int y)  {return 1ll*x*y%P;}
int power(int a,int b){int ans=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))  if(b&1)  ans=mul(ans,a);return ans;
}
int L=12,*w[13];
void init_fac(){fac[0]=fac[1]=1;for(int i=2;i<N;++i)  fac[i]=mul(fac[i-1],i);ifac[N-1]=power(fac[N-1],P-2);for(int i=N-2;~i;--i)  ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
}
int C(int n,int m)  {return mul(fac[n],mul(ifac[m],ifac[n-m]));}
void init_w(){for(int i=1;i<=L;++i)w[i]=new int[1<<(i-1)];int now=power(g,(P-1)/(1<<L));w[L][0]=1;for(int i=1;i<(1<<(L-1));++i)  w[L][i]=mul(w[L][i-1],now);for(int i=L-1;i;--i)for(int j=0;j<(1<<(i-1));++j)w[i][j]=w[i+1][j<<1];
}
void init(int lim){for(int i=0;i<lim;++i)  pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));
}
void NTT(poly &f,int lim,int type){for(int i=0;i<lim;++i)if(pos[i]>i)  swap(f[i],f[pos[i]]);for(int mid=1,l=1;mid<lim;mid<<=1,++l){for(int i=0;i<lim;i+=(mid<<1)){for(int j=0;j<mid;++j){int p0=f[i+j],p1=mul(f[i+j+mid],w[l][j]);f[i+j]=add(p0,p1),f[i+j+mid]=dec(p0,p1);}}}if(type==-1&&(reverse(f.begin()+1,f.begin()+lim),1)){int inv=power(lim,P-2);for(int i=0;i<lim;++i)  f[i]=mul(f[i],inv);}
}
int calc(int x){int ans=C(n-3*x,x);poly A(0),B(0),C(0),D(0);for(int i=0;i<=a-x;++i)  A.push_back(ifac[i]);for(int i=0;i<=b-x;++i)  B.push_back(ifac[i]);for(int i=0;i<=c-x;++i)  C.push_back(ifac[i]);for(int i=0;i<=d-x;++i)  D.push_back(ifac[i]);int lim=1,len=A.size()+B.size()+C.size()+D.size()-3;while(lim<len)lim<<=1;init(lim);A.resize(lim),NTT(A,lim,1);B.resize(lim),NTT(B,lim,1);C.resize(lim),NTT(C,lim,1);D.resize(lim),NTT(D,lim,1);for(int i=0;i<lim;++i)  A[i]=1ll*A[i]*B[i]%P*C[i]%P*D[i]%P;NTT(A,lim,-1),A.resize(len);return mul(ans,mul(fac[n-4*x],A[n-4*x]));
}
int main(){init_w(),init_fac();scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c,&d);up=min(min(min(a,b),min(c,d)),n/4);for(int i=0;i<=up;++i){ans=(i&1)?dec(ans,calc(i)):add(ans,calc(i));}printf("%d\n",ans);return 0;
}