三角形内切圆 / 外接圆半径计算公式及证明总结 ~
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(一)三角形内切圆
1. 半径计算公式:
公式一:
1)公式:r = (a+b-c) / 2.0
2)证明:
设Rt△ABC中,∠C=90度,BC=a,AC=b,AB=c
证明方法一般有两种:
方法一:
如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE
显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD=CE=r
所以AD=b-r,BE=a-r,
因为AD=AF,CE=CF
所以AF=b-r,CF=a-r
因为AF+CF=AB=r
所以b-r+a-r=r
内切圆半径r=(a+b-c)/2
即内切圆直径L=a+b-c
方法二:
如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE、OF,OA、OB、OC
显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB
所以S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAB
所以ab/2=br/2+ar/2+cr/2
所以r=ab/(a+b+c)
=ab(a+b-c)/(a+b+c)(a+b-c)
=ab(a+b-c)/[(a+b)^2-c^2]
因为a^2+b^2=c^2
所以内切圆半径r=(a+b-c)/2
即内切圆直径L=a+b-c
公式二:
1)公式: r = 2.0*S / (a+b+c)
2)证明:式中S是三角形的面积,(a+b+c)是三角形的周长。
2*S = S△OBC + S△OCA + S△OAC = a*r + b*r + c*r
移项化简即为 r = 2.0*S / (a+b+c)
公式三:
1)公式: r = sqrt ( ( (p-a)*(p-b)*(p-c) / p ) )
2)证明:
已知三角形三边 a,b,c,求其内切圆半径 r;
已知海伦公式:S = √(p*(p - a)*(p - b)*(p - c));
已知:p = (a + b + c) / 2.0,S = p*r;
得:r = S / p;
所以:r = √ ( (p-a)*(p-b)*(p-c) / p ) ;
2. 相关概念:
1)与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2)圆心叫做三角形的内心。
3)三角形叫做圆的外切三角形。
4)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
5)三角形一定有内切圆且内切圆圆心定在三角形内部。
(二)三角形外接圆
1. 半径计算公式:
1)公式:R = (a*b*c) / (4.0*s)
2)证明:式中a,b,c分别为三角形的三边,S为面积。
R = ( a*b*c ) / (4.0*S)
R = ( ¼ *a*b*c ) / √ [ p*(p-a)*(p-b)*(p-c) ]
R = ( a*b*c ) / √ [ (a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c) ]
2.相关概念:
1)与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。
2)三角形有外接圆,其他的图形不一定有外接圆。
3)三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点。
4)三角形外接圆圆心叫外心。
(三)r,R,S之间的关系
关系公式:r*R = ( S / p ) * ( ( a*b*c ) / ( 4.0*S ) ) = ( a*b*c ) / [ 2.0*(a+b+c) ]
--------------------------------我也是有底线的---------------------------------
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