配对交易之统计套利配对：协整（cointegration)

Engle和Granger观察到了一个相当有趣的现象。尽管两个时间序列是非平稳的，但在某些情况下，两者的特定线性组合实际上是平稳的；也就是说，这两个序列在某种程度上是步调一致的。Engle和Granger创造了“协整”（cointegration)一词，并在一篇文章中提出了这一概念(参考文献Engle, Robert F. and C. W. Granger. “Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing.” Econometrica 55, no. 2 (March 1987) 251–276.)。值得注意的是，这是他们2003年获得诺贝尔经济学奖的其中一个理念。

$y_{t}$ 和 $x_{t}$ 是两个非平稳的序列，存在特定的值 $\gamma$ ，使得序列 $y_{t}-\gamma x_{t}$ 是平稳的，那么就说 $y_{t}$ 和 $x_{t}$ 是协整的。

协整的变化情况可以被误差修正（error correction)的这个概念所描述。误差修正背后的思想是，协整系统有一个长期均衡值；即两个时间序列的线性组合的长期平均值。如果与长期均值存在偏差，则一个或两个时间序列会自行调整以恢复长期均衡。认为误差修正和协整本质上是等价的定理称为Granger representation theorem。

用 $\varepsilon_{x_{t}}$ 表示时间序列 $\{x_{t}\}$ 的白噪声过程。用 $\varepsilon_{y_{t}}$ 表示时间序列 $y_{t}$ 的白噪声过程。误差修正表示为：

式子的左侧是每个时间步长的时间序列增量。右侧是两个表达式的总和，即修正部分和白噪声部分。我们来看看修正部分 $\alpha_{y}(y_{t-1}-\gamma x_{t-1})$ ，其中 $y_{t-1}-\gamma x_{t-1}$ 表示与长期均值的偏离（本例子中长期均值是0）， $\gamma$ 表示协整系数（coefficient of cointegration）。 $\alpha_{y}$ 误差修正率（error correction rate），表示时间序列校正回长期均值的速度。

$\varepsilon_{x_{t}}$ 以及 $\varepsilon_{y_{t}}$ 表示两个独立的白噪声，它们都服从均值为0，方差为1的正态分布。其它参数 $\alpha_{y}=-0.2$ ， $\alpha_{x}=0.2$ ， $\gamma=1$ 。注意，在误差修正这个种情况下， $\alpha_{y}$ 和 $\alpha_{x}$ 要设置成相反的符号。那时间序列 $\{x_{t}\}$ 以及时间序列 $\{y_{t}\}$ 就根据这些参数生成。如下图为两个时间序列：

根据 $\gamma$ ，可以继续计算spread价差时序，如下两图，从价差时序的自相关函数可以看出，价差是一个平稳的时间序列。

另一种协整建模的方法是Stock and Watson方法，又称为共同趋势模型（commond trends model).这个模型把时间序列表示成两部分组成：平稳部分和非平稳部分。如果两个时间序列是协整的，那么协整线性组合将抵消非平稳部分，只留下平稳部分。

考虑一下两个时间序列：

其中 $n_{y_{t}}$ 和 $n_{x_{t}}$ 是随机游走，即非平稳部分。 $\varepsilon_{y_{t}}$ 以及 $\varepsilon_{x_{t}}$ 是平稳的部分。线性组合 $y_{t}-\gamma z_{t}$ 是协整组合来的时间序列，这个序列是平稳的。我们有：

如果上式是平稳的，那么非平稳的部分是0，即 $n_{y_{t}}=\gamma n_{z_{t}}$ ，也就是说一个时间序列的趋势部分是另一个时间序列趋势部分的 $\gamma$ 倍。所以，对于两个时间序列，如果他们协整，那么他们的趋势是某种程度（倍数的关系）是相同的。

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