非叫“秩”不可，有秩才有解

我在一个大学当督导的时候，一次我听一位老师给学生讲《线性代数》中矩阵的“秩”。

矩阵的“秩”是《线性代数》中的一个非常重要的概念。我认为，理解了“秩”，线性代数就好学多了，用起来也主动多了。

因为这个概念的重要性，课间休息时，我问这位老师：“秩”是什么？为什么非要叫“秩”？

对前一个问题，他又重复了一遍教科书上的数学定义。对后一个问题，始呈不屑回答意，继则愕然，终了闪烁其词回避走开了。我没有追问下去，但是我有些不踏实：非数学专业学生的学习效果会怎么样。

“秩”在数学上是有严格定义的。从数学上去掌握“秩”的数学解析意义应该说不难。简单来说，“秩”就是组成矩阵的各向量之间的最大线性无关数。例如，有一个有5个向量组成的方阵，如果这5个向量中最多有3个向量互不相关，就说这个矩阵的秩为3；如果这5个向量中最多有4个向量互不相关，就说这个矩阵的秩为4；如果这5个向量中5个向量都互不相关，就说这个矩阵满秩。满秩，就是组成矩阵的所有向量都线性无关。当然，这里略去了行秩和列秩的区别。

我更关心的是要回答为什么非要叫“秩”。也就是说，从文字意义上，为什么叫“秩”？叫别的行不行？譬如，叫“牛”、叫“马”、叫“石头”、叫“鬼”、叫“酷”，等等，行不行？为什么一定要叫“秩”？

这个问题我又和其他几位数学教师讨论过。有的说，开始就这么叫的，习惯了，所以叫“秩”；有的说，不叫“秩”也行，无所谓。有的干脆说，不知道。尽管这些老师的数学功底很深，但是都没有给我一个使我满意的回答。

我说，不对，非要叫“秩”不可，叫别的绝对不行。叫“秩”，是有深刻含义的。准确来说，是有深刻物理意义的。

为什么呢？

我们从实用角度来理解“秩”的物理意义，就可以看出来，为什么非要叫“秩”不可。说明一点：请原谅，为了好懂，在不失数学原意的情况下，下面对严格的数学表述作了一些文字上的简化处理。

先说解决数学本身的一个实用问题。要解一个方阵组成的线性代数方程，如果矩阵满秩，方程才有唯一解。即：线性代数方程组有唯一解的条件是：矩阵满秩。否则，方程就无解。

再说现代控制理论中的一个实用问题。线性系统有一个矩阵，叫能控性矩阵。如果这个矩阵是满秩的，系统的状态就完全能控制；如果不满秩，系统的状态就不完全能控制。

上面两个实用例子，意思都是说矩阵要满秩，问题就有解。如果不满秩，问题就解决不了。而满秩，就是组成矩阵的所有向量都线性无关；而不满秩就是有线性相关的向量了。我们可以这么说：如果所有的向量都没有线性相关的关系，问题就有解；只要有两个向量或有一些向量有线性相关的关系，问题就解决不了。

这使我们联想到了很多社会问题的解决。有些看似很复杂的社会问题，很容易解决；有些看似很简单的社会问题，却始终解决不了。这跟“秩”有关。

举个简单的例子，排队抢购一件紧俏商品。如果排队的人彼此完全不认识，就都会老老实实地排队。哪怕队伍排得很长，也会非常有秩序。过不一会，东西就可以买到手。相反，如果排队的时候，突然走来一个关系紧密的熟人，他又不自觉，队伍又很长，东西又紧俏，非要插队。后面的人就开始嚷嚷了，秩序就乱了，搞得不对，哪怕队伍再短，也会天下大乱，谁也买不成。

这个例子说明：彼此不认识，彼此不相关，就有秩序，问题就好解决；彼此认识，彼此相关，就很难有秩序或者说没有秩序，问题就不好解决。

于是数学家就把日常生活中的这种现象和规律，总结到矩阵中的所有向量之间的关系中来，并加以抽象，于是就提出了矩阵秩的概念。说明，如果矩阵中的所有向量都是线性无关的，那么，矩阵就完全有秩序，方程就有唯一的解，系统状态就完全能控；如果矩阵中的所有向量有线性相关的，那么，矩阵就没有秩序，方程就不会有解，系统状态就不可能完全能控。

一句话，完全不相关，就有秩序；不是完全不相关，就不会有秩序。所以，矩阵中的最大的不相关的向量的个数，就叫秩，而且非叫秩不可，不能叫别的。

我又联想到其它一些问题。例如，我们国家很多地方很多部门，有很多三姑六姨的人际关系网，有些地方甚至可以用盘根错节近亲繁殖来形容。显然，这些地方这些部门，用线性代数的话来说，就不满秩，而且非常不满秩；用社会生活语言来说，就是没有秩序。这些地方和这些部门的工作，完全可以想象，是搞不好的，因为没有秩序。要搞好一个地方一个部门的工作吗，要很轻松地搞好一个地方一个部门的工作吗？用数学语言说，你首先要满秩。

所以我的结论是：线性代数中表示向量间是否线性相关的这个概念，一定要叫秩，不能叫别的。

如果这么来认识矩阵秩的概念，高深的线性代数，是不是好学一些了？学了以后是不是更好用一些了？

好学好用的根本原因，是知道了秩这个概念的数学意义以后，更清楚地理解了秩的物理意义，更明白了“秩”的文字意义。我把这种对于一个理论问题，既准确讲述数学意义，又直观讲解物理意义，还直白说明日常生活意义和文字意义的理论教学方法，叫平民化教学法。而只讲述数学意义，不讲解物理意义，不说明日常生活意义和文字意义的理论教学方法，叫学院式教学法。平民化的理论教学法，更有利于学，更有利于用。学生学起来，更有兴趣一些，更容易学一些，收获更大一些，老师也更好教一些。

平民化教学方法显然具有直观形象的特点，又不失理论的严密性和严肃性。对非数学专业的学生讲数学的时候，平民化教学法可能更有效。特别是对目前我们国家大部分非数学专业类的大学生来说，可能是更合适的。在目前的大学生状态下，我建议：尽量采用平民化教学法，尽量放弃学院式教学法。学院式的理论教学应当尽量平民化。

当然，对于数学逻辑思维能力特别强的学生来说，可能就多此一举了。

像“秩”这样好像既深奥又难懂的概念和知识，还有很多。都需要老师下功夫去思考去研究去回答，让非数学专业的学生，能够多听到一些“平民化”的数学，而不是“学院式”的数学。例如，为什么要叫矩阵的“迹”？为什么要叫矩阵的“范数”？为什么要叫“友矩阵”？为什么要叫“酉矩阵”？为什么要叫复变函数的“留数”？可以说，在数学中要这么讲的例子俯拾即是。在其它课程中也有很多，例如，热工学中的“熵”和“焓”，也有一个为什么非要叫“熵”和“焓”的问题。也要讲清楚它的物理意义文字意义，也要平民化，不要学院化。

2012年4月10日星期二 14：43 于宿迁

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