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1、由贝特朗奇论谈几何概型中的等价转化许丽丽 江泽福建师范大学数学与计算机科学学院 福建师范大学附属中学几何概型与古典概型都是概率论中最基础、最简单的概率类型.二者的共同点就是每个基本事件发生的概率都是等可能的;然而前者的基本事件个数只有有限个,后者却是无限的.正是由于几何概型的基本事件有无限多个,人们在解题时总专注于对原始条件进行等价转化,意在建构较简单的基本事件,以期简化概率计算过程.不可否认,有些正确的转化必然达到事半功倍的效果;然而,有些看似等价的转化,最终却得到了不同的答案,使人们产生困惑.本文通过对贝特朗问题的五种正误解法进行深入剖析,总结出几何概型的转化应注意的若干问题.贝特朗问题:。

2、在单位圆的圆周上,任意选取两点、,连结成弦.记事件为弦长,求事件发生的概率.1. 由原始条件出发,通法求解解法一:该圆的周长为2.在圆上任取一点,规定它的位置是0,而圆上其余各点的位置按顺时针方向在内相应增长.设,在圆周上的位置分别是,则.又如图1所示, 当且仅当.如图2,用表示每次实验的结果,则所有基本事件构成正方形区域,其中阴影部分为事件构成的区域,符合几何概型条件,故评注:解法一是将在圆周上选取两点视为等可能事件,从而以面积作为测度,应用几何概型理论得出答案.此法是从题目中的原始条件出发,没有进行等价转化,不易出错,算作一种通法.然而用通法解题往往比较复杂,况且本题中还涉及到两个变元,计。

3、算过程显得不够简便.2. 适当进行等价转化,化繁为简解法二:由于圆是具有高度对称性的图形,可认为圆内等长的弦有且只有一条.于是不失一般性,假设点就在图1所示位置,问题就转化为另一点在半圆周上随机选取时,弦长的概率.那么,基本事件构成的区域为半圆周,事件构成的区域为从到的劣弧长.根据几何概型原理得,.解法三:与解法二思想一致,认为圆内等长的弦只有一条,进一步地,等长弦所对的圆心角也是相等的.同时注意到,固定点在图1位置,点在自到的半圆周上均匀地运动时,圆心角也均匀地从0增加到.因此,我们可以把问题转化为图1中,过圆心,在直径的右侧任意做射线交圆周于点,求超过的概率.此时,基本事件构成的区域为,而。

4、事件构成的区域为,故评注:解法二和解法三是通过合理的等价转化,分别将在半圆周上选取一点和过点在内任意做射线视为等可能事件,使得两个变元的问题变成了一个变元的问题,大大简化了概率计算.3. 转化不慎,陷入误区然而,贝特朗奇论就告诉我们,有些转化却得到了错误的答案.问题究竟出现在哪里呢?下文中我们就两种错解的原因给予分析. 忽视等可能性的保持解法四:视圆上等长的弦为唯一的.不妨假设长度不同的弦的中点都分布在单位圆的某条半径上,如图3所示.其中为的中点,故弦在位置时,长度刚好为.而此时每条弦的弦长与该弦中点所处的位置是相互决定的.因此,问题就转化为弦的中点在半径上随机选取时,中点处于线段上的概率.从。

5、而求得.辨析:此种解法,在认为圆内等长的弦是唯一的前提下,将研究对象弦的两个端点转化为它的中点.此时,二者确实是一一对应的.然而,解题过程却忽视了另一个考虑要素:当弦的两个端点分别在从到和从到的劣弧上等可能地选取时,弦的中点并不会相应等可能地落在半径上.事实上,如果在图3所示位置,不妨设,则到的劣弧长即为,而,二者并不成正比.因此,此类错误转化的特点是:虽然保证了研究对象的一一对应,但是忽视了等可能性的保持,所以转化是不等价的.我们再举两个类似的例子.例1 如图4,是一个等腰直角三角形.过顶点,在直角的内部任意引射线交斜边于点,求的概率.错解:内部的任一射线与射线在边的交点是一一对应的.如图4。

6、中,当交点点处于位置时,故问题可转化为点在边上随机选取时,的概率.于是所求概率为.辨析:由题意,射线在内部等可能地选取,而此时对应的交点并不会在边上等可能地分布.因此,所犯错误与贝特朗问题的解法四相似.正确的做法应是采用角度作为测度.,故所求概率为.例2 如图5,是一个直角三角形,.现以A为圆心,2为半径做圆弧,且平行于,.在弧上随机地取点,连结,问直线与相交的概率是多少?错解:在弧上取点与连结成直线的效果和在线段上取点与连结成直线的效果是一样.那么,问题可以转化为在线段上任意取点,与连结所成的直线与相交的概率.因为,因此结果就为辨析:所犯错误与上例一样,转化过程中忽视了等可能性的保持.正确解。

7、法应该采用弧长或角度作为测度,答案为 忽视研究对象转化的等价解法五:以圆内任一点为中点,可以确定一条弦.要使弦长,只需该弦的中点落在图6中的阴影小圆内.于是问题转化为以单位圆内任一点为中点作弦,使得的概率. 通过计算可知, 当,即位于图6中位置时,中点到的距离为,于是.辨析:此法用弦的中点来代替弦的两端点作为研究对象.我们看到,圆内除圆心外的任意一点的确唯一地确定了一条弦.但是,以圆心为中点的弦,即直径,却有无数条.当然相应地,也有无数对的端点.因此,这个对象的转化是不等价的.以下例3的解法也是步入了这个误区.例3 甲,乙,丙三人玩游戏,游戏规则为:在不远处有一小方块,要将一枚铜板扔到这张方块。

8、上,已知铜板的直径是方块边长的,谁能将铜板完整地扔到这块方块上就可以晋级下一轮.现在甲一扔,铜板落在小方块上,且没有掉下来,问他能晋级下一轮的概率有多大? 错解:记甲能晋级下一轮这个事件为,假设小方块的边长为1.过铜板中心向最近的小方块的边做垂线,设.依题意得,甲已将铜板扔到了小方块上,故.而要使铜板完整地落入方块,如图7,应使.因此,.辨析: 由已知,铜板的中心等可能地分布在小方块上的任一处.上面解法中,将研究对象铜板的中心转化为铜板中心到小方块边的最短距离.如图7, 为小方块的中心.我们知道,当时,铜板的中心位于以为中心, 为边长的正方形的边上,随着从0增大到,铜板中心分布的区域长度也呈线。

9、性的递减.所以,该转化显然是不合理的.本题正确的思路应该是,如图8,当铜板中心位于图中阴影的正方形时,甲能晋级下一轮.而铜板的中心在小方块内的分布是等可能的,属于几何概型,故.综上,在进行几何概型的概率计算时,要明确原始条件,必要时在遵循研究对象合理替换、保持等可能性的原则下,进行等价转化,实现解题过程的简化,优化.参考文献:1 普通高中课程标准实验教科书数学3(必修)M.北京:人民教育出版社,2007.2 三维设计2010新课标高考总复习.数学理科(人教A版)M.北京:光明日报出版社,2009.3 魏宗舒等编.概率论与数理统计教程M.北京:高等教育出版社,1983.4 徐明. 几何概型教学释疑兼谈贝特朗悖论 J.数学通讯,2009(6)(下半月。