数值分析线性方程组迭代法之SOR迭代法详解及其C语言算法实现

SOR迭代法,又名逐次超松弛迭代法,与Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法相比,收敛速度更快其原理如下(想详细了解,可以点击这里数值分析(东北大学)):
1.构造迭代式时,要加上一个大于0的松弛因子w,这样可以加快其收敛速度

2.根据上式进行分析:

3.得到迭代式:

得到迭代式以后,就可以选择合适的初始解进行计算了,由于迭代法的收敛性与初始向量无关,与系数矩阵的谱半径有关,所以在计算时的初始解向量不妨设为0向量即可

代码实现

1.初始化:

double** init_Matrix(int r, int c)
{double** p = new double* [r];int d = c + 1;for (int i = 0; i < r; i++){p[i] = new double[d];memset(p[i], 0, sizeof(double) * d);}cout << "请输入线性方程组对应的增广矩阵:" << endl;for (int i = 0; i < r; i++){for (int j = 0; j < d; j++){cin >> p[i][j];}}cout << "请输入SOR的松弛因子w(0<w):" << endl;while (!(cin >> w)||(cin.fail())){if (w>0){break;}else{cin.clear();cin.sync();cout << "输入不规范的w,请重新输入!" << endl;}}return p;
}

2.判断是否达到精度要求:

bool isRight(double** p, int r, double* x)
{double sum1 = 0, flag = 0, sum2 = 0;for (int i = 0; i < r; i++){sum1 = 0, flag = 0;for (int j = 0; j < r; j++){sum1 += x[j] * p[i][j];}flag = fabs(p[i][r] - sum1);if (flag > one_Precision)//解代入单个方程式的误差过大{return false;}else{sum2 += flag;}}if (sum2 > total_Precision)//整体误差过大{return false;}return true;
}

3.迭代计算:

void Iteration(double** p, int r, double* x)
{int k = 0;//迭代次数double sum = 0,tmp=0;while (true){for (int i = 0; i < r; i++){sum = 0,tmp=0;for (int j = 0; j < r; j++){if (j == i){tmp -= x[j];}else{sum -= p[i][j] * x[j];}}x[i] = x[i]+w*((p[i][r] + sum) / p[i][i])+w*tmp;}printf("第%d次迭代结果为:", ++k);for (int i = 0; i < r; i++){printf("%f\t", x[i]);}cout << endl;if (k >= MAX_time){cout << "超出迭代次数上限!停止迭代" << endl;return;}if (isRight(p, r, x))//精度符合要求{cout << "精度符合要求,停止迭代,共迭代:" << k << "次" << endl;return;}}
}

完整代码:

#include<iostream>
#include<Windows.h>
#include<math.h>
#define one_Precision   1e-5//单个方程误差
#define total_Precision 3e-5//整体方程误差
#define MAX_time  1000//最大迭代次数
using namespace std;
/*
3 3
10 -1  0 9
-1 10 -2 7
0  -2 10 63 3
3 2 -3 -2
1 1  1  6
1 2 -1  23 3
1  2 -3 1
2 -1  3 5
3 -2  2 14 4
4 -3  6  7 11
1  1  3  4 10
-2 9 -7  1 10
3  3 -4 20 25
*/
double w =0;//先赋初始值为0 避免访问到未处理的内存 计算时要求进行输入
double** init_Matrix(int r, int c)
{double** p = new double* [r];int d = c + 1;for (int i = 0; i < r; i++){p[i] = new double[d];memset(p[i], 0, sizeof(double) * d);}cout << "请输入线性方程组对应的增广矩阵:" << endl;for (int i = 0; i < r; i++){for (int j = 0; j < d; j++){cin >> p[i][j];}}cout << "请输入SOR的松弛因子w(0<w):" << endl;while (!(cin >> w)||(cin.fail())){if (w>0){break;}else{cin.clear();cin.sync();cout << "输入不规范的w,请重新输入!" << endl;}}return p;
}
bool isRight(double** p, int r, double* x)
{double sum1 = 0, flag = 0, sum2 = 0;for (int i = 0; i < r; i++){sum1 = 0, flag = 0;for (int j = 0; j < r; j++){sum1 += x[j] * p[i][j];}flag = fabs(p[i][r] - sum1);if (flag > one_Precision)//解代入单个方程式的误差过大{return false;}else{sum2 += flag;}}if (sum2 > total_Precision)//整体误差过大{return false;}return true;
}
void Iteration(double** p, int r, double* x)
{int k = 0;//迭代次数double sum = 0,tmp=0;while (true){for (int i = 0; i < r; i++){sum = 0,tmp=0;for (int j = 0; j < r; j++){if (j == i){tmp -= x[j];}else{sum -= p[i][j] * x[j];}}x[i] = x[i]+w*((p[i][r] + sum) / p[i][i])+w*tmp;}printf("第%d次迭代结果为:", ++k);for (int i = 0; i < r; i++){printf("%f\t", x[i]);}cout << endl;if (k >= MAX_time){cout << "超出迭代次数上限!停止迭代" << endl;return;}if (isRight(p, r, x))//精度符合要求{cout << "精度符合要求,停止迭代,共迭代:" << k << "次" << endl;return;}}
}
void SOR_main()
{int i = 0, j = 0;cout << "请输入线性方程组对应系数矩阵的行和列:" << endl;cin >> i >> j;double** p = init_Matrix(i, j);double* X = new double[i];//第n+1次跌代memset(X, 0, sizeof(double) * i);Iteration(p, i, X);for (int i = 0; i < j; i++){delete[]p[i];}delete[]p;delete[]X;
}
int main(void)
{SOR_main();system("pause");return 0;
}

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