论文阅读《Paired Overbounding for Nonideal LAAS and WAAS Error Distributions》

摘要

用于GPS的天基和地基增强系统（SBAS和GBAS）的一个重大挑战涉及导航完好性的验证，这需要建立飞机位置的误差范围。本文介绍了一种新的位置域完好性验证方法，即对每个测距源使用双向包络。这种双向包络方法允许任意形式的误差分布，从而改进了早期限制于零均值、对称的和单峰的分布的完好性验证方法。

1 介绍

在美国，联邦航空管理局（FAA）资助了两个项目，使民用飞机能够使用全球定位系统（GPS）精密进近和降落。这些系统中的第一个自2003年开始运行，是广域增强系统（WAAS）。这个天基增强系统（SBAS）在北美各地的参考站收集测量数据，并通过地球同步轨道上的卫星传送差分GPS修正。美国联邦航空局的同伴系统，仍在发展中，被称为局域增强系统（LAAS）。这个地基增强系统（GBAS）直接在机场放置了一个参考站。该电台通过甚高频无线电连接向进近的飞机广播GPS修正。总的来说，LAAS校正比WAAS校正具有更高的准确性和完好性，但适用的地理区域要小得多。

虽然WAAS和LAAS信号显著提高了GPS定位的精度，但它们的主要作用是保护系统的完好性，免受危险误导信息（HMI）的威胁。WAAS和LAAS实现了三个主要功能来避免HMI。首先，这些系统广播差分GPS校正，消除参考站和移动用户之间的相关误差。其次，它们监测导致去相关的罕见系统故障。最后，它们使用户能够生成描述残差去相关误差的包络。在没有LAAS或WAAS校正的情况下，GPS用户会遇到电离层、对流层、星历和时钟变化引起的标称测距误差，通常为几十米量级。尽管差分校正可以消除这些移动和参考天线普遍存在的误差，但它们无法消除由罕见的系统故障（如卫星时钟过度加速、卫星载波发散、信号变形和严重的电离层风暴）引起的大的非相关误差。WAAS和LAAS使用参考站监测器来检测和排除这些故障的测距信号，从而缓解这些罕见的系统故障。作为最后的预防措施，用户评估一个误差包络，它描述由热噪声、多径、标称电离层变化和标称对流层变化引起的残余去相关误差。这个残差去相关误差的包络称为保护水平（PL）。只有当飞机的PL小于该操作的告警门限（AL）时，才可以开始进近或着陆操作。

本文研究了导航误差的保守PL包络的定义。PL的大小随卫星几何形状而随时间变化。由于地面参考站不知道用户接收机跟踪的可见卫星的哪个子集，它们不能广播用户位置误差的简单包络。相反，增强系统的地面站会广播描述每颗卫星残余去相关误差的参数。用户接收机通过将导航解中使用的所有卫星的伪距域误差分布合并到位置域来计算PL置信包络。在实际中，伪距域分布被建模成独立的零均值的高斯分布，因此位置域分布也是高斯分布。

虽然实际的误差分布不一定是高斯分布，但高斯形式为WAAS和LAAS应用提供了实用价值。由于高斯分布可以进行解析卷积，因此伪距域分布与位置域PL包络具有一个闭式的方程。这种解析的关系简化了用户-接收机的设计和认证。此外，零均值高斯分布完全可以用一个参数来描述：分布标准差，sigma。由于WAAS和LAAS依赖于有限带宽的通信信道，因此对伪距误差分布的紧凑参数化至关重要。因此，正如系统接口控制文件（ICDs）中规定的那样，在增强系统的覆盖区域内，对每一颗可见卫星广播一个独特的sigma参数。

广播sigma值的保守性是验证LAAS和WAAS的关键步骤。由于实际的误差分布是非高斯分布，这个证明尤其具有挑战性。原则上，与这些非高斯效应相关的完好性风险可以实时监测或估计。然而，由于允许的完好性风险要求非常严格，允许的风险在10−710^{-7}10−7及以下，因此，在满足告警时间和虚警要求所需的速度和精度下，地面监测器无法估计误差分布的尾部。因此，WAAS和LAAS的完好性依赖于保守的提前校准广播sigma项来描述伪距误差。

用一个简化的保守的误差模型代替实际分布的过程称为包络。WAAS和LAAS的ICD要求高斯包络，以便分配一个保守的广播sigma。遗憾的是，现有的包络理论对实际分布和包络都有很大的限制。具体地说，当前的包络方法不能保证非对称的多峰的或非零均值的分布的保守性。这里介绍了一种广义的包络方法，它使用一对边界而不是一个边界来表示实际的误差分布。与早期的包络理论相比，双边包络保证了PL对任意一组独立误差源的保守性。直接实施这一方法要求参考站为每颗卫星测距源广播至少两个参数。为了避免会影响已经认证的接收机硬件的要求变化，本文考虑了一种间接的方法，即只使用单个广播sigma值来应用成对包络。该方法与现有的WAAS和LAAS接口完全兼容。

本文的组织如下。第二章通过回顾之前的包络方法，为双边包络方法提供了上下文。第三章说明了单分布包络的局限性，并推动了双边包络定理的发展，第四章随后导出了这个定理。第五章讨论了双边包络方法在利用现有广播信道的GPS增强系统中的应用。最后，第六章对本文的重点进行了简要的总结。

2 包络方法

WAAS和LAAS的发展促进了对保守地表示每颗卫星测距源相关误差的各种方法的研究。从这项工作中出现的最重要的结果之一是单一的cdf包络定理（cdf是累积分布函数），由Bruce DeCleene开发。本章回顾Decleene定理和它的前辈，为成对包络定理提供一个上下文。关于完好性，一个包络函数预测大的导航误差发生的频率至少和它们实际发生的频率一样，那么它就是保守的。在GPS增强系统中，PL定义为给定HMI概率的情况下，位置域误差大小的置信边界。HMI概率PHMIP_{HMI}PHMI选择一个非常小的数值，一般在10−710^{-7}10−7到10−910^{-9}10−9范围内。假设一个高斯误差分布，PL可以表示为，
PL=KHσp+fH(1)PL = K_H\sigma_p+f_H \tag{1} PL=KHσp+fH(1)
其中，
KH=2erfc−1(PHMI)(2)K_H=\sqrt2erfc^{-1}(P_{HMI}) \tag{2} KH=2erfc−1(PHMI)(2)
这里σp\sigma_pσp是定位误差的标准差，fHf_HfH是基于故障假设的常数。对于无故障运行，参数fHf_HfH为零。这个PL的定义是保守的，如果实际误差是高斯的且如果广播的sigma至少和实际误差分布的sigma一样大。

对于GPS导航解，位置域的sigma是每个独立测距源的sigma值的函数。如果伪距误差是独立的高斯分布，则，
σp=∑iSi2σi2(3)\sigma_p=\sqrt{\sum_iS_i^2\sigma_i^2} \tag{3} σp=i∑Si2σi2(3)
其中σi\sigma_iσi是每个独立测距源相关的标准差，SiS_iSi是与每颗卫星形状相关的灵敏度系数。在概念上，只要增广系统广播每个独立测距源的保守sigma值，位置域PL就应该是保守的。然而，这个直观的概念假定了高斯分布误差。事实上，测距误差只是近似的高斯分布。

早期的包络研究主要集中在非理想形状的测距误差分布的完好性验证。有一种方法叫作尾部包络，它试图通过定义一个包络分布来建立保守性，即在AL之外的尾部比实际测距误差分布的尾部有更多的概率。要包络尾部，必须满足以下条件，
Go(x=−AL)≥Ga(x=−AL)(1−Go(x=AL)≥(1−Ga(x=AL))(4)\begin{matrix} G_o(x=-AL) \geq G_a(x=-AL) \\ (1-G_o(x=AL) \geq (1-G_a(x= AL)) \end{matrix} \tag{4} Go(x=−AL)≥Ga(x=−AL)(1−Go(x=AL)≥(1−Ga(x=AL))(4)
其中GaG_aGa表示真实误差的cdf，GoG_oGo表示包络的cdf。不幸的是，这类包络的保守性不能在位置域中建立，因为卷积函数组合了单个伪距域分布，重新排列了AL边界上的概率。

第二种方法考虑概率密度函数（pdf）而不是累积尾部概率。由于宽（大sigma）高斯分布的pdfs不能清晰地包络窄（小sigma）高斯分布的pdfs，这种基于pdf的包络方法很快就被抛弃了。事实上，较宽的高斯pdf在尾部总是比较窄的高斯pdf大，而在平均值上则比较窄的高斯pdf低。

第一个成功跨越伪距域和位置域鸿沟的包络方法是DeCleene的单cdf包络方法。这一概念定义了一个保守的包络，即在所有大于实际cdf的地方低于平均值，在所有小于实际cdf的地方高于平均值，
Go(x)≥Ga(x),∀Ga<12Go(x)≤Ga(x),∀Ga≥12(5)\begin{matrix} G_o(x) \geq G_a(x),\ \forall G_a < \frac{1}{2} \\ G_o(x) \leq G_a(x),\ \forall G_a \geq \frac{1}{2} \end{matrix} \tag{5} Go(x)≥Ga(x), ∀Ga<21Go(x)≤Ga(x), ∀Ga≥21(5)
当对一组伪距域包络进行卷积形成位置域包络时，如果独立的伪距域误差也按照公式（5）包络，则得到的位置域误差也按照公式（5）包络。只要包络和实际分布都是零均值的、对称的和单峰的，这个结果就成立。

实际上，DeCleene的包络定理允许一个非理想的实际误差分布被一个理想的且保守的表示所代替。为了利用PL在公式（1）至（3）中的定义，理想的包络应该是高斯的。因此，根据公式（5），只要发现一个高斯分布超过实际的伪距误差分布，则可以验证增广系统的完好性。在实践中，但cdf包络方法的形状约束经常被忽略，即使实际的误差分布很少是零均值的、对称的和单峰的。然而，忽略非理想cdf形状的过程可能违反完好性要求，如下一章所述。

3 单CDF包络的局限性

根据DeCleene的包络定理，可以通过将一组灵敏度加权的伪距域包络卷积来构造位置域包络。分布形状的限制是必需的，以确保通过卷积过程的良好的包络行为。本节提供了一些示例，以说明当实际cdf或包络移动了均值、不对称或多个局部极大值时，完好性违反是如何发生的。

A 非零均值和移动均值分布

DeCleene对cdf包络的开发要求实际cdf和包络的均值都为零。事实上，这个声明是表达两个独立需求的紧凑形式。首先，PL的推导，如公式（1）所给出的，假设为零均值包络。通过重新构造PL表达式来考虑非零均值，可以放宽这一要求。其次，包络约束，公式（5），要求实际cdf和包络函数具有相同的均值（相当于对称分布的均值）。这一要求对于单cdf包络是至关重要的，并且不能在不违反完好性的情况下放松它。

图1说明了移位均值分布相关的问题。均值误差被定义为将一个pdf均匀地分成两部分的参数。均值的cdf值为1/2。单cdf的包络条件，公式（5），是这样写的，即包络分布的尾部总是比实际分布有更多的概率，在均值的两侧。如果包络经过图1所示的阴影灰色区域，则此条件成立。如果包络经过阴影区域之外，那么它就会以低于实际概率预测出某些误差。这种情况在本质上是非保守的，可能违反增强系统的完好性保证。

图1 CDF包络对于均值移动分布是无效的。

在伪距域中，如图所示，均值附近保守性的缺失不会直接影响与大误差相关的完好性。更确切地说，是多个伪距域误差源的组合导致了这个问题。在卷积过程中，无界的伪距域概率会向位置域误差分布的远端偏移，从而产生完好性威胁。完好性保证只能防止非常大的误差，这种误差发生的概率非常低，大概是PHMIP_{HMI}PHMI或小于这个值。当移动的均值pdf与其它几个伪距域pdf卷积形成一个位置域包络时，无界概率可以向尾部移动。因此，PL太小，无法保护系统完好性。

B 非对称分布

非对称约束与均值偏移约束密切相关。事实上，这两种非理想的完好性违反机制是相似的。在非对称分布的情况下，与移位均值的情况一样，保守的边界可以在伪距域中建立起来。同样，当多个伪距误差通过卷积合并到位置域时，问题就出现了。非对称分布与另一个误差pdf的第一次卷积导致均值移位。这种均值偏移违反了单cdf的包络条件（5）。随后的卷积导致无界概率向误差分布的尾部传播。

作为这个过程的一个例子，考虑以下两个满足（5）的分布。在这里以及本文的其它地方，小写变量名表示pdf，大写变量名表示cdfs。
go(x)=12∣x∣<1ga(x)={12−1<x≤010<x≤12(6)\begin{matrix} g_o(x)=\frac{1}{2}\ \ |x|<1 \\ g_a(x)= \begin{cases} \frac{1}{2} & -1<x\leq 0 \\ 1 & 0 < x \leq \frac{1}{2} \end{cases} \end{matrix}\tag{6} go(x)=21 ∣x∣<1ga(x)={211−1<x≤00<x≤21(6)
图2展示了这两个pdfs。第一个分布，一个简单的均匀分布pdf，gog_ogo，包络了第二个分布，一个准均匀分布pdf，gag_aga。这些分布的cdfs绘制在图3（a）中。

图2 对称和非对称pdfs。（a）简单的均匀分布pdf。（b）准均匀分布pdf

通过将这个有界误差分布与几个相同的独立的分布（IIDs）进行了卷积，研究了非对称对包络有效性的影响。2 IID情况下的误差分布是由实际误差分布与自身卷积得到的。在概念上，一对包络分布的卷积应该为实际误差提供一个保守的边界。事实并非如此，如图3（b）所示。如图所示，实际分布和包络分布的均值被移位，违反了单cdf条件（5）。

图3 非对称pdf的cdf包络的失效

随着更多的非对称分布的组合，无界概率从分布的中心向尾部移动。随着组合分布的数量增加到3个IID（图3（c））和6个IID（图3（d）），这个过程变得更加明显。当无界概率移动到足够远的尾部时，边界就被违反了，PL就低估了危险的大误差的实际概率。这种行为明显违反了精确GPS导航所需的保守主义。

C 多峰分布

具有多个局部极大值的分布也会导致单cdf包络的问题。再一次，罪魁祸首是卷积运算。当对单峰分布进行卷积时，得到的分布是模糊的，概率向尾部移动。相比之下，多峰误差的卷积可以使概率向尾部移动和向中心移动。内向聚合不是保守的，因此多峰分布的卷积可能导致不能保守地表示位置域误差。

一个例子演示了可能违反完好性的这种机制。在这个例子中，实际误差pdf，gag_aga，是三角形的。保守的边界gog_ogo是一组δ\deltaδ函数。
go(x)=14(δ(x+1)+δ(x+12)+δ(x−12)+δ(x−1))ga(x)={(1+x)−1<x≤0(1−x)0<x≤10otherwise(7)\begin{matrix} g_o(x)=\frac{1}{4}(\delta(x+1)+\delta(x+\frac{1}{2})+\delta(x-\frac{1}{2})+\delta(x-1)) \\ g_a(x)=\begin{cases} (1+x) & -1<x \leq 0 \\ (1-x) & 0 < x \leq 1 \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{matrix} \tag{7} go(x)=41(δ(x+1)+δ(x+21)+δ(x−21)+δ(x−1))ga(x)=⎩⎪⎨⎪⎧(1+x)(1−x)0−1<x≤00<x≤1otherwise(7)
虽然包络分布服从（5）的单cdf条件，但其pdf是多峰的，有四个明显的峰。当组合形成cdf时，误差分布为二次分布，边界分布为阶跃函数之和。这些组合分布如图4（a）所示。从图中可以清楚地看出，阶梯状的包络分布在其尾部的概率总是大于实际的误差分布，这是单cdf包络条件所要求的。

图4 多峰pdf的cdf包络的失效

卷积的影响可以考虑两个IID的情况，其形式为（7）。如图4（b）所示，包络函数的卷积不能为误差分布的卷积提供一个有效的单cdf边界。在随后的卷积之后，分布中心附近的这种无界概率可能会向分布尾部移动，从而导致违背完好性。

4 双边包络定理

本节介绍一种新的包络策略，称为双边包络。与单cdf包络相比，双边包络通过卷积之后仍然有效，适用于任意分布，即使是那些已经均值移动、非对称或多峰的分布。

双边包络实际上是两个包络函数的组合。这组包络由一个左边界GLG_LGL和一个右边界GRG_RGR组成，定义相对于实际的cdf，GaG_aGa，如下所示：
GL(x)≥Ga(x),∀xGR(x)≤Ga(x),∀x(8)\begin{matrix} G_L(x) \geq G_a(x), \ \ \forall x \\ G_R(x) \leq G_a(x), \ \ \forall x \end{matrix} \tag{8} GL(x)≥Ga(x), ∀xGR(x)≤Ga(x), ∀x(8)
这对边界与由左边界和右边界构造的单cdf包络密切相关，
Go={GL(x)∀GL<1212otherwiseGR(x)∀GR>12(9)G_o=\begin{cases} G_L(x) & \forall G_L<\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & otherwise \\ G_R(x) & \forall G_R > \frac{1}{2} \end{cases} \tag{9} Go=⎩⎪⎨⎪⎧GL(x)21GR(x)∀GL<21otherwise∀GR>21(9)
如果双边包络条件（8）为真，则得到的包络（9）服从单cdf的包络条件（5）。虽然单cdf条件（9）的包络特性没有通过对任意形状分布的卷积而保留，但通过卷积保留了左右包络的特性。

更正式地说，成对包络定理声明如下。考虑两个任意独立的cdf函数Ga1G_{a1}Ga1和Ga2G_{a2}Ga2。如果按照（10）定义单调的包络函数，那么左右分布的卷积仍将实际误差分布的卷积包络，左边和右边，按照（11）。
If{GL1(x)≥Ga1(x)∀xGR1(x)≤Ga1(x)∀xand{GL2(y)≥Ga2(y)∀yGR2(y)≤Ga2(y)∀y(10)If \begin{cases} G_{L1}(x) \geq G_{a1}(x) & \forall x \\ G_{R1}(x) \leq G_{a1}(x) & \forall x \end{cases} \ \ and \begin{cases} G_{L2}(y) \geq G_{a2}(y) & \forall y \\ G_{R2}(y) \leq G_{a2}(y) & \forall y \end{cases} \tag{10} If{GL1(x)≥Ga1(x)GR1(x)≤Ga1(x)∀x∀x and{GL2(y)≥Ga2(y)GR2(y)≤Ga2(y)∀y∀y(10)
then{GL1+L2(z)≥Ga1+a2(z)∀zGR1+R2(z)≤Ga1+a2(z)∀z(11)then \begin{cases} G_{L1+L2}(z) \geq G_{a1+a2}(z) & \forall z \\ G_{R1+R2}(z) \leq G_{a1+a2}(z) & \forall z \end{cases}\tag{11} then{GL1+L2(z)≥Ga1+a2(z)GR1+R2(z)≤Ga1+a2(z)∀z∀z(11)
这个定理暗示了两个随机变量和z=x+yz=x+yz=x+y的分布的左右包络是由xxx和yyy分布各自包络的卷积确定的。对于求和zzz，一个有效的单cdf包络可以由新的左右包络（11）以包络（9）的形式构造出来。

根据（10）的声明，（11）的证明如下。根据标准概率论，（12）描述了随机变量zzz的cdf，其中z=x+yz=x+yz=x+y，其中xxx和yyy为随机变量，pdfs分别为ga1(x)g_{a1}(x)ga1(x)和ga2(y)g_{a2}(y)ga2(y)。
Ga1+a2(z)=∫−∞∞∫−∞z−xga1(x)ga2(y)dydx=∫−∞z−y∫−∞∞ga1(x)ga2(y)dydx(12)G_{a1+a2}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{z-x}g_{a1}(x)g_{a2}(y)dydx=\int_{-\infty}^{z-y}\int_{-\infty}^{\infty} g_{a1}(x)g_{a2}(y)dydx \tag{12} Ga1+a2(z)=∫−∞∞∫−∞z−xga1(x)ga2(y)dydx=∫−∞z−y∫−∞∞ga1(x)ga2(y)dydx(12)
重新安排积分，并将其中一个pdf转换成cdf，可得，
Ga1+a2(z)=∫−∞∞ga1(x)Ga2(z−x)dx=∫−∞∞Ga1(z−y)ga2(y)dy(13)G_{a1+a2}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}g_{a1}(x)G_{a2}(z-x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}G_{a1}(z-y)g_{a2}(y)dy \tag{13} Ga1+a2(z)=∫−∞∞ga1(x)Ga2(z−x)dx=∫−∞∞Ga1(z−y)ga2(y)dy(13)
将（13）应用于从a1a1a1分布得到的一个变量和从L2L2L2分布得到的第二个变量的总和，
Ga1+L2(z)=∫−∞∞ga1(x)GL2(z−x)dx=∫−∞∞Ga1(z−y)gL2(y)dy(14)G_{a1+L2}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}g_{a1}(x)G_{L2}(z-x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}G_{a1}(z-y)g_{L2}(y)dy \tag{14} Ga1+L2(z)=∫−∞∞ga1(x)GL2(z−x)dx=∫−∞∞Ga1(z−y)gL2(y)dy(14)
结合该公式和假设（10），
∫−∞∞ga1(x)GL2(z−x)dx≥∫−∞∞ga1(x)Ga2(z−x)dxGa1+L2(z)≥Ga1+a2(z)(15)\begin{matrix} \int_{-\infty}^{\infty}g_{a1}(x)G_{L2}(z-x)dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g_{a1}(x)G_{a2}(z-x)dx \\ G_{a1+L2}(z) \geq G_{a1+a2}(z) \end{matrix} \tag{15} ∫−∞∞ga1(x)GL2(z−x)dx≥∫−∞∞ga1(x)Ga2(z−x)dxGa1+L2(z)≥Ga1+a2(z)(15)
同样地，因为，
GL1+L2(z)=∫−∞∞GL1(z−y)gL2(y)dy(16)G_{L1+L2}(z) = \int_{-\infty}^{\infty}G_{L1}(z-y)g_{L2}(y)dy \tag{16} GL1+L2(z)=∫−∞∞GL1(z−y)gL2(y)dy(16)
因为声明（10），它服从，
∫−∞∞GL1(z−y)gL2(y)dy≥∫−∞∞Ga1(z−y)gL2(y)dyGL1+L2(z)≥Ga1+L2(z)(17)\begin{matrix} \int_{-\infty}^{\infty}G_{L1}(z-y)g_{L2}(y)dy \geq \int_{-\infty}^{\infty}G_{a1}(z-y)g_{L2}(y)dy \\ G_{L1+L2}(z) \geq G_{a1+L2}(z) \end{matrix} \tag{17} ∫−∞∞GL1(z−y)gL2(y)dy≥∫−∞∞Ga1(z−y)gL2(y)dyGL1+L2(z)≥Ga1+L2(z)(17)
因此左边界特性对卷积是不变的，
GL1+L2(z)≥Ga1+a2(z)(18)G_{L1+L2}(z) \geq G_{a1+a2}(z) \tag{18} GL1+L2(z)≥Ga1+a2(z)(18)

右边界特性的不变性的证明与（12）-（18）的发展是一样的，用右边界来代替左边界，用小于或等于号代替大于或等于号。假设卷积后左右边界保持不变，以（9）的方式构造的cdf包络保证了在单cdf包络条件（5）的意义上对实际分布a1a1a1和a2a2a2的卷积进行包络。

此证明过程表明了左右包络的特性是通过卷积来保持的，因此，基于左右分布卷积的包络会超越实际分布的卷积。通过推广，给定任意误差分布，即使是那些不是零均值、对称和单峰的误差分布，伪距域的双边包络也保证了位置域的双边包络。

5 GPS增强的应用

在GPS增强应用中，实际误差分布通常表示为非理想行为。对于由非理想伪距误差分布构造的位置域误差，应用双边包络定理可以得到一个形式化的完好性验证。对于航空应用，如WAAS和LAAS，希望将误差建模为高斯分布。双边包络定理提供了将近似高斯分布转换为高斯形式的机会。

A 双边高斯包络

对于WAAS和LAAS应用程序，用户构建其PL假设所有伪距源均为零均值高斯分布。增强系统必须为每个有效的伪距源传输一个sigma参数，以使用户能够计算PL。这些sigma值通常被夸大，以说明估计实际误差分布的不确定性。然而，正如第三节所说明的那样，单靠sigma夸大不能保守地解释均值移动、非对称或多峰的分布。

对包络定理增加了一个额外的参数来保证异常分布的保守性。实际上，分布异常转化成了偏差。这些偏差描述了一对高斯分布，一个左一个右，它们定义了一个受保护的包络线。图5显示了由双边高斯包络定义的包络线。双边边界保守地表示任何实际的误差分布，落在受保护的包络中，如图中阴影的灰色区域所示。

图5 双边高斯cdfs

双边包络的数学描述涉及到两个高斯分布，每个分布由一个偏差参数bob_obo向零对称移动。
GL(x)=∫−∞xN(−bo,σo)dxGR(x)=∫−∞xN(bo,σo)dx(19)\begin{matrix} G_{L}(x)=\int_{-\infty}^xN(-b_o,\sigma_o)dx \\ G_R(x) = \int_{-\infty}^xN(b_o,\sigma_o)dx \end{matrix} \tag{19} GL(x)=∫−∞xN(−bo,σo)dxGR(x)=∫−∞xN(bo,σo)dx(19)
此处N(bo,σo)N(b_o,\sigma_o)N(bo,σo)表示均值为bob_obo标准差为σo\sigma_oσo的高斯密度函数。下标ooo表示均值和偏差描述的是包络分布，而不是实际分布。

当单个伪距域误差为双边高斯分布时，位置域误差也是双边有界包络，sigma由（3）给出，偏差由下式给出，
bp,o=∑i∣Si∣bi,o(20)b_{p,o}=\sum_i|S_i|b_{i,o} \tag{20} bp,o=i∑∣Si∣bi,o(20)
对于每个伪距域分布，灵敏度因子SiS_iSi上的绝对值符号反映了双边高斯分布的对称性。总位置域偏差有效地降低了AL的幅度，以保守地考虑异常伪距域误差分布。因此，PL方程中必须包含总位置域偏差bp,ob_{p,o}bp,o，以实现双边高斯的包络策略。最终的PL方程为，
PL=KH∑i=1NSi2σo,i2+∑i=1N∣Si∣bo,i+fH(21)PL=K_H\sqrt {\sum_{i=1}^N S_i^2\sigma_{o,i}^2}+\sum_{i=1}^N|S_i|b_{o,i}+f_H \tag{21} PL=KHi=1∑NSi2σo,i2+i=1∑N∣Si∣bo,i+fH(21)

B 包络实际误差分布

GPS增强系统的实际误差分布很少服从单cdf包络的理想假设。图6（a）显示了由FAA技术中心测量的LAAS伪距修正误差直方图。归一化直方图显示了所有卫星在以正负24度仰角为中心的1度频带内观测到的误差测量值，平均分布在三个天线上。直方图将4349个数据点聚合成51个柱。

图6 双边高斯pdfs（a）和cdfs（b）

直方图显然是非对称和多峰的。此外，分布的均值从零偏移到正0.9厘米。考虑到采样过程的随机性质和直方图柱分配的敏感性，这些异常可能反映也可能不反映潜在误差分布中的异常。然而，考虑到直方图的外观和良好的分辨率，它是保守的，适合于解释潜在分布的异常。结合直方图的双边高斯分布的pdf图如图6（a）所示为平滑曲线。然而，图6（b）中曲线之间的包络线更为明显，它显示了LAAS误差分布的经验cdf的积分边界。为了更好地显示误差分布的远尾，图6（b）使用了高斯概率轴，其中高斯cdfs看起来是直线。

在这种情况下，双边高斯包络的标准差σo,i\sigma_{o,i}σo,i为5厘米，均值bo,ib_{o,i}bo,i为2.8厘米。值得注意的是，经验cdf并不能准确地代表远尾潜在误差分布的行为。然而，本文提出的双边包络技术与之前对远尾包络的研究是一致的。

C 广播双边高斯偏差

为了实现双边高斯包络，需要以某种方式将每个测距源的偏差参数bo,ib_{o,i}bo,i纳入机载用户的PL计算中。直接更改LAAS或WAAS ICD是不可取的，因为现有硬件已经通过了符合这些规范的认证。特别是，这个约束限制修改用户PL的计算表达式（1）或广播数据消息的格式。从技术角度来看，每个卫星伪距源的偏置水平广播进一步受到增强系统通信带宽的限制。

因此，为了实现一个实际的双边高斯包络，有必要将偏差打包成与现有增强系统规范一致的格式。本节考虑两种使用sigma膨胀方法保守地包络分布偏差的方法。第一种方法是一种相对包络法，前面已经有几个作者讨论过。本节还介绍了一种基于绝对边界的替代方法，当偏差水平很小时，该方法提供了改进的性能。

在伪距误差修正中，包络偏差的标准方法涉及广播标准差的扩大。在这里，膨胀因子由参数ξ\xiξ表示，
PLinflated=ξ(KH∑i=1NSi2σo,i2)(22)PL_{inflated}=\xi(K_H\sqrt{\sum_{i=1}^NS_i^2\sigma_{o,i}^2}) \tag{22} PLinflated=ξ(KHi=1∑NSi2σo,i2)(22)
先前作者使用了一个无几何膨胀因子，它取决于视图中的卫星总数NNN和所有卫星iii中均值与标准差比值μ/σ\mu / \sigmaμ/σ的最大值。
ξ=(1+maxi∣μiσi∣NKH)(23)\xi=(1+\underset{i}{max}|\frac{\mu_i}{\sigma_i}|\frac{\sqrt{N}}{K_H}) \tag{23} ξ=(1+imax∣σiμi∣KHN)(23)
这种参数化假设偏差的大小与标准差成比例。然而，如果偏差的大小对标准差弱敏感，这种相对包络方法可能过于保守，特别是当大偏差与小标准差对应时。此外，该方法还假设了一个最坏情况星座，其中敏感性向量的一范数和二范数如下：
∣∣S∣∣1=N∣∣S∣∣2(24)||S||_1=\sqrt N||S||_2 \tag{24} ∣∣S∣∣1=N∣∣S∣∣2(24)

相对于AL，对于偏差较小的情况，可以通过开发一种只考虑可实现几何图像的替代膨胀因子来实现更高的性能。这种方法只适用于基于机场的GBAS，如LAAS，而不适用于以网络为中心的SBAS，如WAAS。考虑到所有可实现的几何图形，通过（20）计算最坏情况下的位置域偏差。然后将总偏差加到PL中，或等价地从AL中减去。然后，偏差的影响可以通过直接减少广播的AL，或通过膨胀sigma参数，使PL测试适当地传递给用户。有效PL膨胀系数为，
ξ=ALAL−∑i=1N∣Si∣bo,i(25)\xi=\frac{AL}{AL-\sum_{i=1}^N|S_i|b_{o,i}} \tag{25} ξ=AL−∑i=1N∣Si∣bo,iAL(25)
为了保守性起见，增强系统必须将这个膨胀因子应用于所有传递的sigma参数，从这些参数中构造出来伪距误差标准差σo,i\sigma_{o,i}σo,i。这些参数包括地面测量噪声、航空测量噪声、电离层梯度和对流层梯度的包络。
σo,i2≥σi2=σgr,i2+σair,i2+σiono,i2+σtropo,i2(26)\sigma_{o,i}^2 \geq \sigma_i^2=\sigma_{gr,i}^2+\sigma_{air,i}^2+\sigma_{ion\ o,i}^2+\sigma_{trop\ o,i}^2 \tag{26} σo,i2≥σi2=σgr,i2+σair,i2+σion o,i2+σtrop o,i2(26)
由于该参数没有在增强系统数据信息中广播，可能需要额外的膨胀来考虑航空噪声σair\sigma_{air}σair。

根据公式（25），ξ\xiξ是卫星几何的函数。ξ\xiξ在最坏情况下的值可以通过确定在特定机场可见的最坏的卫星几何形状来确定。这种最坏情况分析还必须考虑视图中几何图形的允许子集，包括从星座中移除一颗或两颗卫星的实例。为了简化这种几何分析，用一个保守的上界来代替位置域偏差（20）是有用的。
∑i=1N∣Si∣bo,i≤∣∣bo∣∣∞∑i=1N∣Si∣=∣∣bo∣∣∞∣∣Sv∣∣1(27)\sum_{i=1}^N|S_i|b_{o,i} \leq ||b_o||_{\infty}\sum_{i=1}^N|S_i|=||b_o||_{\infty}||S_v||_1 \tag{27} i=1∑N∣Si∣bo,i≤∣∣bo∣∣∞i=1∑N∣Si∣=∣∣bo∣∣∞∣∣Sv∣∣1(27)
这个保守上界，在公式（27）的右边，假设伪距域偏差向量的所有元素都等于最坏的单个元素（向量无穷范数）。在这种情况下，位置域的偏差是由伪距域偏差向量的无穷范数和灵敏度向量的一范数的乘积所包络的。利用这种简化方法，可以将最坏情况下的几何描述为在某一机场的所有可实现的卫星子集上具有最大一范数的几何。

为了评估灵敏度向量一范数的实际边界，我们在恒星天每隔1分钟对10个机场地点（6个在美国，4个在欧洲）的几何形状进行了模拟。无故障PL大于AL的几何图形将被视为不可用而丢弃。该模拟使用了24颗卫星星座，并检查了运行中有22颗或更多卫星的所有几何子集。所有时间和地点的可用∣∣Sv∣∣1||S_v||_1∣∣Sv∣∣1值的直方图如图7所示。对于这组最坏的22、23和24卫星几何，最不利的一范数是∣∣Sv∣∣1=14.24||S_v||_1=14.24∣∣Sv∣∣1=14.24。基于美国联邦航空局技术中心（FAATC）的LAAS测试样机数据，在距离误差分布上未知偏差的合理边界为10厘米。结合卫星几何和伪距源偏差的单个边界，位置域边界（27）优于1.5米。将此参数应用于膨胀因子（25），得到ξ=1.18\xi=1.18ξ=1.18。

图7 最坏情况下$||S_v||_1$在10个地点每隔1分钟的直方图日志图

这种基于几何的膨胀因子优于（23）所描述的相对于sigma的无几何的方法。对于LTP天线，不幸的是，在一定的仰角时，均值标准差比值可能趋于统一。假设一个典型的卫星星座（N=9），KH0=5.81K_{H0}=5.81KH0=5.81，（23）推荐的膨胀水平β=1.52\beta=1.52β=1.52。

如果通过位置域监视器实时计算几何参数∣∣Sv∣∣1||S_v||_1∣∣Sv∣∣1，则膨胀系数可能会得到进一步改善。在这种情况下，最糟糕的可实现几何可能有一个灵敏度一范数实质上低于14.26。

6 总结

本文介绍了基于cdf左右双包络的一个包络定理。该定理提供了一种方法来确定误差分布的边界，以保证卷积运算后的边界。因此，如果一组独立随机变量的分布是双边包络，则一组独立随机变量和的分布也是有界的。与其它包络方法不同，这个双边包络适用于任意形状的伪距域误差分布，甚至非零均值、非对称或多模态的分布。

在差分GPS增强领域中，双边包络定理提供了一种保证，给定一组有界伪距域分布的位置域误差包络的方法。此属性为增强系统完好性提供正式验证方面具有重要的应用。双边高斯包络的引入将分布异常（如均值偏移、非对称和多峰）转化为偏差。在当前WAAS和LAAS规范的背景下，这些偏差可以通过广播sigma的膨胀形式被包络。这种sigma膨胀方法允许在不修改现有的WAAS和LAAS ICDs的情况下实现双边包络。

参考文献

略！