前缀和后缀的最大相等长度

为了更好的理解我接下来所说的回溯值的求法，这里先介绍一下，如何求一个字符串的前缀和后缀相等的最大长度，为了便于说明记为k。

注意：前缀和后缀不能为字符串本身！！！！！！

如字符串“abcab”的k为2、字符串“a”的k为0、“aaaaa”的k为4、“abcaabc”的k为3。

回溯值

在主串T中寻找模式串P的过程称为模式匹配。若匹配成功，则返回P在T中的位置，匹配失败，返回0；常用的算法有两种，一个是朴素的模式匹配算法，这里就不做过多介绍。另一个就是看书看到头晕的KMP算法~~

这里首先来大概讲一讲KMP算法思想的关键在于那里，先通过图来看一下，KMP算法匹配的过程

上图：i=0，j=0；i=1，j=1；i=2，j=2时字符都是匹配的，当i取3，j取3的时候，字符不匹配，这时候，如果按朴素的模式匹配算法来求，这时候需要将i退回i=1处，j退回j=0处。但我们观察发现，j之前的字符串和主串中一部分已经完全匹配了，而“aba”的k（上一个标签中出现）为1，这时i不动，让j移到k处，即j=1；“aba”的前缀a已经和后缀a相等，而后缀a已经和主串中的a匹配了，所以这个时候已经不需要再匹配a。如下图：

以这样一个小小的例子我们可以发现，关键就是求得当p[j]与T[i]不匹配时，j应该退回到模式串的什么位置。模式串中每一个位置都有它对应的回溯值。这样一个和模式串下标有关的数组记为next[]。

手算快速求出next【】呢？？？

如“abaabcac”，默认当j=0时，next[0]=-1。

当j=1是，拿出他之前的子串，即“a”，k值为0，所以next[1]=0;

当j=2时，拿出他之前的子串，即“ab”，k为0,所以next[2]=0;

当j=3时，拿出他之前的子串，即“aba”，k为1,所以next[3]=1;

当j=4时，拿出他之前的子串，即“abaa”，k为1,所以next[4]=1;

当j=5时，拿出他之前子串，即“abaab”，k为2，所以next[5]=2;

当j=6时，拿出他之前子串，即“abaabc”，k为0，所以next[6]=0;

当j=7时，拿出他之前的子串，即“abaabca”，k为1，所以next[7]=1;

所以模式串P的失效值的数组为[-1,0,0,1,1,2,0,1];

失效函数值的两种实现
求模式失效函数值的递归算法

int getNext(int j,char p[]){if(j==0){return -1;}if(j>0){int k=getNext(j-1,p);while(k>=0){if(p[k]==p[j-1]){return k+1;}else{k=getNext(k,p);}}return 0;}return 0;
}

求模式失效函数值的递推算法

void getNext(char p[],int next[]){int j=0;int k=-1;next[0]=-1;while(p[j]){if(k==-1||p[k]==p[j]){j++;k++;next[j]=k;}else{k=next[k];}}
}

优化的递推算法

void getNext(char p[],int nexval[]){int j=0,k=-1;nexval[j]=k;while(p[j]){if(k==-1||p[j]==p[k]){j++;k++;if(p[j]==p[k]){nexval[j]=nexval[k];}else{nexval[j]=k;}}else{k=nexval[k];}}
}

完整的KMP算法

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int getNext(int j,char P[]){ if(j==0){return -1;}while(P[j]){int k=getNext(j-1,P);while(k>=0){if(P[j-1]==P[k]){return k+1;}else{k=getNext(k,P);}}return 0;}return 0;
}
void getNext(char P[],int next[]){int j=0,k=-1;next[0]=-1;while(P[j]!='\0'){if(k==-1||P[j]==P[k]){j++;k++;next[j]=k;}else{k=next[k];}}return;
}
void getNextval(char P[],int nextval[]){int j=0,k=-1;while(P[j]!='\0'){if(k==-1||P[j]==P[k]){k++;j++;if(P[j]==P[k]){nextval[j]=nextval[k];}else{nextval[j]=k;}}else{k=nextval[k];}}
}
int kmpCheck(char T[],char P[],int index[]){int n=strlen(P);int next[n]; int k=0;getNext(P,next);int i=0,j=0;while(j==-1||T[i]&&P[j]){if(j==-1||T[i]==P[j]){i++;j++;}else{j=next[j];}if(j!=-1&&P[j]=='\0'){index[k++]=i-j;j=0;}} return k;
}
int main(){char t[]="abceeeabcyyyabc";char p[]="abc";int index[10];int n=kmpCheck(t,p,index);for(int i=0;i<n;i++){cout<<index[i]<<'\t';}cout<<endl;return 0;
}

本来想详细讲解一下KMP算法的原理，后来发现我自己的语言表达确实有点拙劣，倒是花了很长的时间画图，也简单说了一下如何手算一个kmp算法的回溯值矩阵。至于算法的实现就是草草的贴了几个代码。能力有限，还希望不当之处大家及时和我讲出来。

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