7.1 力学问题的简化

力学问题层次

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理论难度大
理论难度小
理论突破
推广应用
杆件
平面
空间
一维
二维
三维

力学简化效果

  • 空间问题：未知函数6（应力）+6（应变）+3（位移），共15个，且均为f(x,y,z)
  • 平面问题：未知函数3（应力）+3（应变）+2（位移），共8个，均为f(x,y)

疑问：如果平面问题都是关于x,y的函数，与z无关，那么平面应力与平面应变问题的区别是什么？

可见，将空间力学问题转换为平面力学问题，可以大量减少未知函数，而想再解决空间问题，理论知识基本不会发生大的改变，改变的只是求解的未知函数。因此，将平面力学问题解决好了，空间力学问题也可以迎刃而解。

定性分析力学特征

  • 结构形式
  • 受力形式
  • 约束情况

从力学角度分析结构受力后，力学行为的主要特征是什么，会表现出什么样的力学响应，一般需要从以上三个方面去思考

7.2 平面应力问题的提出

结构形式

  • 等厚度的薄板

受力形式

  • 体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变
  • 面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变

约束情况

  • 约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变

力学特征分析

  • 自由面受力情况----即不受约束、不受外力作用的面，平行该面法线方向作用的力都为0，且结合切应力互等定理，有 σ z ∣ z = ± δ 2 = 0 , τ z x ∣ z = ± δ 2 = τ x z ∣ z = ± δ 2 = 0 , τ y z ∣ z = ± δ 2 = τ z y ∣ z = ± δ 2 = 0 \sigma_z\vert_{z=\pm\frac \delta 2}=0,\tau_{zx}\vert_{z=\pm\frac \delta 2}=\tau_{xz}\vert_{z=\pm\frac \delta 2}=0,\tau_{yz}\vert_{z=\pm\frac \delta 2}=\tau_{zy}\vert_{z=\pm\frac \delta 2}=0 σz​∣z=±2δ​​=0,τzx​∣z=±2δ​​=τxz​∣z=±2δ​​=0,τyz​∣z=±2δ​​=τzy​∣z=±2δ​​=0
  • 板内受力情况
    • 由于 σ z \sigma_z σz​与 τ z x = τ x z \tau_{zx}=\tau_{xz} τzx​=τxz​、 τ z y = τ y z \tau_{zy}=\tau_{yz} τzy​=τyz​均是坐标连续函数，且在 z z z坐标轴上两侧边界均为0，且左、右边界距离较近，可初步判断这三个函数均直接等于0。
    • 同时，从板受力、约束情况来看，均与 z z z坐标轴无关，可定性判断以上三个函数也与 z z z坐标轴无关，进一步定性认为这三个函数就恒等于0。
    • 物体内不为0的力仅包括 σ x , σ y , τ x y = τ y x \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}=\tau_{yx} σx​,σy​,τxy​=τyx​，且这几个力也仅是关于 x , y x,y x,y的函数。

疑问：如果对于该薄板，约束和外力都仅作用于 z , y z,y z,y轴，薄板仅受重力作用，那么 x x x平面是否还是自由面？此时，薄板是否还处于平面应力状态？
分析： x x x坐标面仍是自由面，且在 x x x坐标面边界很小的范围内，仍是平面应力状态，在该小范围内 ( τ x y , τ x z , σ z ) = 0 (\tau_{xy},\tau_{xz},\sigma_z)=0 (τxy​,τxz​,σz​)=0。但由于该方向距离很长，沿 x x x轴向不一定都为0，因此其它部分可能是三维应力状态。这个问题可以参考以下实例。

实例

由于该物体不再是薄板，其整体受力状态不再是平面应力状态，但是是对于AB薄层这一局部区域，通过其应力分析，仍可以认为是平面应力状态。这就说明，对于一个物体，其每一点的应力状态都可能有所区别，在整体不是平面应力状态的情况下，局部区域是可能处于平面应力状态的。

7.3 平面应变问题的提出

视频9

结构形式

很长的常截面柱体

受力形式

  • 体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变
  • 面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变

约束情况

约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变

力学特征分析

  • 由于 z z z轴很长，因此任意垂直 z z z轴的截面均是对称面。

对称面：对称面两侧的作用或效应，应大小相等、方向相反。

  • 由于位移的连续性及沿 z z z轴截面均是对称面的特性，位移 w ≡ 0 w\equiv0 w≡0

    根据对称性要求， y y y轴左右两侧的位移应大小相等、方向相反，但位移的连续性导致a点在对称面两侧的位移大小相等、方向相同，因此其位移只能为0，同时 ϵ z = 0 \epsilon_z=0 ϵz​=0。
  • 同时，对于第一个点 τ y z = τ z y \tau_{yz}=\tau_{zy} τyz​=τzy​、 τ x z = τ z x \tau_{xz}=\tau_{zx} τxz​=τzx​是两对大小相等、方向相反的力，但由于不在同一作用点，其关于 y y y轴仍不对称，因此也只能为0。但需要注意，对于a点 σ z ∣ z = a \sigma_z\vert_{z=a} σz​∣z=a​在 y y y轴两侧是一对作用力与反作用力，是对称关系，所以 σ z ∣ z = a / = 0 \sigma_z\vert_{z=a}\mathrlap{\,/}{=}0 σz​∣z=a​/​=0。
  • 由于切应变只能由切应力产生，因此， ( γ y z = γ z y , γ x z = γ z x ) = 0 (\gamma_{yz}=\gamma_{zy},\gamma_{xz}=\gamma_{zx})=0 (γyz​=γzy​,γxz​=γzx​)=0。
  • 对于平面应变问题，不为0的量包括： ϵ x , ϵ y , γ x y \epsilon_x,\epsilon_y,\gamma_{xy} ϵx​,ϵy​,γxy​、 σ x , σ y , σ z , τ x y \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z,\tau_{xy} σx​,σy​,σz​,τxy​及 u , v u,v u,v，且仅为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的函数。

实例

记住从分析对象的结构形式、受力形式及约束情况分析其应力、应变状态。该题 x x x坐标面没有约束及外力，应当是自由面，且在该自由面的局部小范围内可能还是平面应力状态。但是， x x x轴方向较长，沿该轴其它部分不一定是平面应力状态。

7.4建立方程

视频10-12

7.4.1静力平衡方程

  • 平衡是力和力的平衡、力矩和力矩的平衡
  • 平衡不能是应力的平衡
  • 是利用任意微元体建立的平衡，因此对于结构体内所有点均满足静力平衡方程
  • 对于平面应力与平面应变问题，静力平衡方程相同
  • 结构体必须满足连续性、小变形
  • 由于是偏微分方程，应力不能直接求出
    ∂ σ x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + f x = 0 , ∂ σ y ∂ y + ∂ τ x y ∂ x + f y = 0 \frac {\partial \sigma_x}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+f_x=0, \frac {\partial \sigma_y}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+f_y=0 ∂x∂σx​​+∂y∂τyx​​+fx​=0,∂y∂σy​​+∂x∂τxy​​+fy​=0
  • 三大力系平衡比较
    • 理论力学：考虑整体V的平衡（只决定整体的运动状态）
    • 材料力学：考虑有限体 ▽ V \triangledown V ▽V的平衡（近似）
    • 弹性力学：考虑微分体 d V dV dV的平衡（严格、精确）
  • 一点应力状态
    • 一点任意截面应力大小
    • 一点最大、最小正应力、切应力大小及其作用面位置

      图中 l = c o s ( ∠ P B A ) = c o s ( → n , → P A ) , m = c o s ( ∠ P A B ) = c o s ( → n , → P B ) l=cos(\angle PBA)=cos(\xrightarrow[n]{},\xrightarrow[PA]{}),m=cos(\angle PAB)=cos(\xrightarrow[n]{},\xrightarrow[PB]{}) l=cos(∠PBA)=cos( n​, PA​),m=cos(∠PAB)=cos( n​, PB​)
      对于任意截面：
      由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
      P x = l σ x + m τ y x , P y = m σ y + l τ x y P_x=l\sigma_x+m\tau_{yx},\\ P_y=m\sigma_y+l\tau_{xy} Px​=lσx​+mτyx​,Py​=mσy​+lτxy​
      通过力的正交分解得
      σ n = l P x + m P y = l 2 σ x + m 2 σ y + 2 l m τ x y , τ n = l P y − m P x = l m ( σ y − σ x ) + ( l 2 − m 2 ) τ x y \sigma_n=lP_x+mP_y=l^2\sigma_x+m^2\sigma_y+2lm\tau_{xy},\\ \tau_n=lP_y-mPx=lm(\sigma_y-\sigma_x)+(l^2-m^2)\tau_{xy} σn​=lPx​+mPy​=l2σx​+m2σy​+2lmτxy​,τn​=lPy​−mPx=lm(σy​−σx​)+(l2−m2)τxy​
      求主应力：
      σ 1 σ 2 = σ x + σ y 2 ± ( σ x − σ y 2 ) 2 + τ x y 2 t a n α 1 = σ 1 − σ x τ x y t a n α 2 = σ 2 − σ x τ x y 注 ： α 1 与 α 2 是 指 主 应 力 面 法 线 方 向 与 x 坐 标 轴 正 向 夹 角 \begin{matrix} \sigma_1\\ \sigma_2 \end{matrix}=\frac {\sigma_x+\sigma_y} 2\pm\sqrt {(\frac {\sigma_x-\sigma_y} 2)^2+\tau_{xy}^2} \\ tan\alpha_1=\frac {\sigma_1-\sigma_x}{\tau_{xy}}\\ tan\alpha_2=\frac {\sigma_2-\sigma_x}{\tau_{xy}}\\ 注：\alpha_1 与 \alpha_2 是指主应力面法线方向与x坐标轴正向夹角 σ1​σ2​​=2σx​+σy​​±(2σx​−σy​​)2+τxy2​ ​tanα1​=τxy​σ1​−σx​​tanα2​=τxy​σ2​−σx​​注：α1​与α2​是指主应力面法线方向与x坐标轴正向夹角
      求最大、最小剪应力：
      τ m a x τ m i n = ± σ 1 − σ 2 2 \begin{matrix} \tau_{max} \\ \tau_{min} \end{matrix}=\pm \frac {\sigma_1-\sigma_2} 2 τmax​τmin​​=±2σ1​−σ2​​
      剪应力最大的面发生在与主应力成 4 5 。 45^。 45。的斜面上。

    求解最大、最小剪应力时，可以直接将一点应力状态转换到主应力平面内，然后再对主应力面应用平面任意截面的剪应力公式，其中剪应力为0，然后求最大值，便可得到上式。从最大、最小剪应力公式推导来看，主应力平面会对力学问题的分析进行简化，且最大、最小剪应力面如下图所示

第七节 圣维南原理及其应用相关推荐

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