电网中直流潮流Distribution Factor的计算，bus间有多条输电线

电网中DC power flow的计算依赖与distribution factor的计算，而DF的计算是由电网结构决定的，电网主要有bus与line组成的，以一个简单的3-bus系统为例：Bus 数量：N
Line 数量：L
line1: bus1-bus2
line2: bus1-bus3
line3: bus2-bus3
incidence matrix A: 表示line的起始信息，行表示line，相关列中1是表示起始bus，-1表示终点bus，L×N-matrix。
A=[1−1010−101−1]A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right]A=⎣⎡110−1010−1−1⎦⎤

admittance matrix Y：N×N-matrix 导纳矩阵
Y=AT⋅Yd⋅A\mathbf{Y}=\mathbf{A}^{T} \cdot \mathbf{Y}_{d} \cdot \mathbf{A}Y=AT⋅Yd⋅A
Yd\mathbf{Y}_{d}Yd a L×L-diagonal matrix with the line admittances on the diagonal (i.e., the primitive admittance matrix).
阻抗的实数部分是电阻，虚数部分是电抗。
导纳是电导和电纳的复合形式，忽略了电阻的话，电纳就是电抗的倒数。
susceptance matrix B:电纳矩阵
DC power flow中，忽略了电阻，主要关注的是线路的电抗。
pL=Bd⋅A⋅δN\mathbf{p}_{L}=\mathbf{B}_{d} \cdot \mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\delta}_{N}pL=Bd⋅A⋅δN

Bd\mathbf{B}_{d}Bd是LxL的对角矩阵，具体形式为：
Bd=[5000100005]\mathbf{B}_{d}=\left[ \begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right]Bd=⎣⎡5000100005⎦⎤

line L上的flow为：PL=BL(δN−δQ)=1XNQ(δN−δQ)P_{L}=B_{L}\left(\delta_{N}-\delta_{Q}\right)=\frac{1}{X_{NQ}}(\delta_N-\delta_Q)PL=BL(δN−δQ)=XNQ1(δN−δQ)

从bus N中出去的flow总和等于bus B的节点注入功率，
PN=∑QBL(δN−δQ)pN=AT⋅Bd⋅A⋅δN\begin{aligned} P_{N} &=\sum_{Q} B_{L}\left(\delta_{N}-\delta_{Q}\right) \\ \mathbf{p}_{N} &=\mathbf{A}^{T} \cdot \mathbf{B}_{d} \cdot \mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\delta}_{N} \end{aligned}PNpN=Q∑BL(δN−δQ)=AT⋅Bd⋅A⋅δN

pL=((Bd⋅A)⋅(AT⋅Bd⋅A)−1)⋅pN\mathbf{p}_{L}=\left(\left(\mathbf{B}_{d} \cdot \mathbf{A}\right) \cdot\left(\mathbf{A}^{T} \cdot \mathbf{B}_{d} \cdot \mathbf{A}\right)^{-1}\right) \cdot \mathbf{p}_{N}pL=((Bd⋅A)⋅(AT⋅Bd⋅A)−1)⋅pN

PTDFL×N=(Bd⋅A)⋅(AT⋅Bd⋅A)−1\mathbf{P T D F}^{L \times N}=\left(\mathbf{B}_{d} \cdot \mathbf{A}\right) \cdot\left(\mathbf{A}^{T} \cdot \mathbf{B}_{d} \cdot \mathbf{A}\right)^{-1}PTDFL×N=(Bd⋅A)⋅(AT⋅Bd⋅A)−1
需要注意的是，(Bd⋅A)\left(\mathbf{B}_{d} \cdot \mathbf{A}\right)(Bd⋅A)需要去除reference bus的列, (AT⋅Bd⋅A)\left(\mathbf{A}^{T} \cdot \mathbf{B}_{d} \cdot \mathbf{A}\right)(AT⋅Bd⋅A)是非线性独立的，需要去掉reference bus的行和列。由此得到shift（distribution） factor。
bus 3作为reference，求得：
PTDF=[0.2−0.400.80.400.20.60]PTDF=\left[ \begin{matrix} 0.2 & -0.4 & 0 \\ 0.8 & 0.4 & 0 \\ 0.2 & 0.6 & 0 \end{matrix} \right]PTDF=⎣⎡0.20.80.2−0.40.40.6000⎦⎤

bus之间不止一条输电线的case：
line1: bus1-bus2
line2: bus1-bus3
line3: bus1-bus3
line4: bus2-bus3
Bd=[5000100005]\mathbf{B}_{d}=\left[ \begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right]Bd=⎣⎡5000100005⎦⎤
PTDF=[0.2−0.400.40.200.40.200.20.60]PTDF=\left[ \begin{matrix} 0.2 & -0.4 & 0 \\ 0.4 & 0.2 & 0 \\ 0.4 & 0.2 & 0 \\ 0.2 & 0.6 & 0 \end{matrix} \right]PTDF=⎣⎢⎢⎡0.20.40.40.2−0.40.20.20.60000⎦⎥⎥⎤

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