二项分布是概率统计中非常基础、非常实用的一种分布，可以说它在我们的生活中无所不在。它说明了这样一种现象：在给定的试验次数中，某一结果会发生多少次。

比如：

这个月有多少天会刮北风？

今年有多少天会下雨？

经过一个路口100次，有多少次会是绿灯？

一年之中会有多少次出门就见狗？

伯努利分布

伯努利分布是二项分布的基础，它只有两种状态，比如抛硬币的时候，结果只有正面和反面两种情况，且两种情况的概率之和为1。也就是说，当我们给定正面朝上的概率的时候，这个分布的一切就都确定了。

我们以0和1来标识这两种可能的结果，那么其概率函数为：

那么其期望值为：

其方差为：

排列组合

1. 排列

从n个对象中有序地挑选出r个对象，我们称之为排列，我们用以下公式统计其可能产生的排列数：

2. 组合

考虑另一种情况，仍然是从n个对象中抽取r个对象，但是这次我们不考虑其顺序，这种过程我们称之为组合。我们用以下公式统计其可能产生的组合数：

可以看出，这是n选r的排列数除以r的排列数。上述公式又被称作二项系数，通常用“n选r”表示。

3. Python计算

那么接下来我们用Python来写一个函数，用来计算不同参数下的排列与组合的数量。在排列组合的计算中，我们可能会输入两个参数：总样本量n、需要抽取的样本数k。

那么我们就定义如下函数：

from functools import reducedef PC(n, k):    """    计算并返回排列组合数    """    # 非法输入返回空    if n <= 0 or k < 0 or n < k:        print('Wrong Input!')        return None        # ｋ为０时，排列组合的情况恒为１    if k == 0:        return 1, 1        # 生成正序及倒序的序列    series_asc = list(range(1, n+1))    series_desc = sorted(series_asc, reverse=True)        # 排列    permutation = reduce(lambda x, y: x*y, series_desc[:k])        # 组合    perm2 = reduce(lambda x, y: x*y, series_asc[:k])    combination = int(permutation / perm2)            return permutation, combination

随手测试几个：

for n in range(1, 5):    for k in range(1, 3):        print('-'*10)        print(n, k)        print(PC(n, k))

结果是正确的：

----------1 1(1, 1)----------1 2Wrong Input!None----------2 1(2, 2)----------2 2(2, 1)----------3 1(3, 3)----------3 2(6, 3)----------4 1(4, 4)----------4 2(12, 6)

二项分布

回顾伯努利分布的情况：一次实验只有可能有两种结果，分别用0和1来表示，其中结果１发生的概率为p。那么在n次独立实验中，不考虑顺序的情况下，结果1出现k次的概率是多少？

首先，因为n次实验相互独立，所以根据乘法定律，任何一种结果１出现k次的场景发生的概率均为：

然后，我们需要考虑结果为１的次数刚好为k的情况有多少种。很明显，这就是一个伯努利试验的组合问题，n次实验中有k次结果为１的情况共有“n选k”种，两者相乘就是该事件发生的概率。

因此：

Python计算

那么我们来用Python实现一个计算二项分布概率的小工具，在这里，我们的输入参数包含总试验次数n、正样本发生的次数k以及正样本发生的概率p：

def binominal_prob(n, k, p):    """    计算并返回二项分布中某结果发生的概率    """    # 任一ｋ次成功的序列出现的概率    p_base = p ** k * (1-p) ** (n-k)        # ｎ次试验中ｋ次成功的组合数    # 直接用上边我们编写的排列组合函数来求解    combination = PC(n, k)[1]    p_result = p_base * combination        return p_result

那么接下来，我们利用我们刚刚写好的小工具，来看一下在10次试验中，不同的概率对应的二项分布是什么样的。

probs = [binominal_prob(10, i, 0.5) for i in range(11)]

我们将结果画出来看看：

%matplotlib inlineimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snssns.set()probs = [round(i/10,1) for i in range(1, 10)]n = 20plt.figure(figsize=(16, 6))for p in probs:    dist_probs = [binominal_prob(n, i, p) for i in range(n+1)]    plt.plot(range(n+1), dist_probs, label='p={0}'.format(p))plt.legend()plt.title('Binominal Distributions of Different P value')plt.savefig('binominal.jpg')plt.show()

或者我们使用交互式的绘图库plotly来尝试同样的事情：

import plotly.graph_objects as goprobs = [round(i/10,1) for i in range(1, 10)]n = 20fig = go.Figure()for p in probs:    dist_probs = [binominal_prob(n, i, p) for i in range(n+1)]    fig.add_trace(go.Scatter(        x=list(range(n+1)),         y=dist_probs,         name='p={0}'.format(p)    ))fig.show()

可以看到，plotly实现的效果更加靓丽，且额外支持了动态交互，在这里我就选择把p=0.8这条线隐藏了起来。

一个利用极大似然估计求二项分布概率参数的例子

我们现在想象一种情况，有一枚分布不太均匀的硬币，每次抛向空中后，落地为正面的概率为p，任意两次实验之间相互独立。现在我们做了４次实验，其中有三次正面朝上，那么请问p的值为多少？

我们之前曾经提到过极大似然估计，在这里我们用同样的思路去估计p的取值。极大似然估计的思想就是寻找一个参数，使得当前结果发生的概率最大，那么我们先定义出来当前结果发生的概率公式：

对其求导并使导数为０，有：

可得，当p=0.75时，P(X=3)=0.422达到最大(另一个解p=0显然不可能，因为硬币朝上已经发生了，并不是“不可能事件”；另外考虑不同区间导数的取值也可以得到答案)。

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