详细解析参照算法(第4版)1.5章——案例研究:union—find算法

1.union-find法的API

public class UF
UF(int N)	以整数标识(0—N-1)初始化N个标识
void union(int p,int q)	在触点p和q之间添加一条连接
void find(int p)	p所在连通分量的标识符(0—N-1)
void connected(int p,int q)	判断触点p和q是否连通，即p和q是否在同一连通分量
int count()	连通分量的数目

2.union-find的实现

   1: public abstract class UF {

   2:     protected int count;

   3:     protected int[] id;

   4:  

   5:     public UF(int N) {

   6:         count = N;

  27:             if (find(i) == pID)

   7:         id = new int[N];

   8:         for (int i = 0; i < N; i++)

   9:             id[i] = i;

  10:     }

  11:     

  12:     public abstract int find(int p);

  13:     

  14:     public abstract void union(int p,int q);

  15:     

  16:     public boolean connected(int p,int q){

  17:         return find(p) == find(q);

  18:     }

  19:     

  20:     public int count(){

  21:         return count;

  22:     }

  23: }

2.1.quick-find算法

   1: public class QuickFindUF extends UF {

   2:  

   3:     public QuickFindUF(int N) {

   4:         super(N);

   5:     }

   6:  

   7:     @Override

   8:     public int find(int p) {

   9:         // TODO Auto-generated method stub

  10:         // 触点p为索引，id[p]即是p所在的连通分量的标识符

  11:         return id[p];

  12:     }

  13:  

  14:     /**

  15:      * 如果p和q在同一个连通分量，则p和q连通 否则，要将p和q连通(两个连通分量合并)，即将p的连通分量所有触点的连通分量改成q的连通分量

  16:      */

  17:     @Override

  18:     public void union(int p, int q) {

  19:         // TODO Auto-generated method stub

  20:         int pID = find(p);

  21:         int qID = find(q);

  22:  

  23:         if (pID == qID)

  24:             return;

  25:  

  26:         for (int i = 0; i < id.length; i++)

  27:             if (find(i) == pID)

  28:                 id[i] = qID;

  29:         count--;

  30:     }

  31:     

  32:     

  33:  

  34: }

算法分析

1.union(p,q)会访问数组次数N+3~2N+1

分析：(1)两次find()操作，访问2次数组

(2)扫描整个数组id[]，判断p和q是否在同一个连通f分量if(find(i)==pID)，访问N次数组

(3)①只有p，其余触点均不和p在同一连通分量 id[p] =qID,访问1次数组

②除了q本身，其余均和p在同一连通分量 id[i] = qID(i≠q)，访问 N-1次数组，故总的访问次数①2+N+1 = N+3        ②2+N+N-1 = 2N+1

2.在最好的情况下(union(p,q)访问数组N+3次)，N个整数要进行N-1次合并union(p,q)操作，访问数组(N+3)(N-1)~N^2。

quick-union算法是平方级别的。

测试结果

   1: public static void main(String[] args) {

   2:     DirectInput.directInput(args);

   3:     int N = StdIn.readInt();

   4:     UF uf = new QuickFindUF(N);

   5:     while(!StdIn.isEmpty()){

   6:         int p = StdIn.readInt();

   7:         int q = StdIn.readInt();

   8:         if(uf.connected(p, q) ) continue;

   9:         uf.union(p, q);

  10:         StdOut.println(p+ " " + q);

  11:     }

  12:     

  13:     StdOut.println(uf.count() + " components");

  14: }

2.2.quick-union算法

   1: /**

   2:  * 以触点p为索引的数组id[p]是p所在的连通分量中的另一个触点q<br>

   3:  * 即p与q是连通的

   4:  * 

   5:  * @author YoungCold

   6:  * 

   7:  */

   8: public class QuickUnionUF extends UF {

   9:  

  10:     public QuickUnionUF(int N) {

  11:         super(N);

  12:     }

  13:  

  14:     /**

  15:      * 找到p的根触点<br>

  16:      * 根触点:符合id[p]=p，即指向自己的触点，即为根触点

  17:      */

  18:     @Override

  19:     public int find(int p) {

  20:         // TODO Auto-generated method stub

  21:         while (p != id[p])

  22:             p = id[p];

  23:         return p;

  24:     }

  25:  

  26:     /**

  27:      * 当p的根触点和q的根触点不同时，说明p和q不在同一个连通分量<br>

  28:      * 要想p和q连通，即将p(q)的根触点(id值为本身)指向q(p)的根触点

  29:      */

  30:     @Override

  31:     public void union(int p, int q) {

  32:         // TODO Auto-generated method stub

  33:         int pRoot = find(p);

  34:         int qRoot = find(q);

  35:  

  36:         if (pRoot == qRoot)

  37:             return;

  38:  

  39:         // 将p的根触点(id值为本身)指向q的根触点

  40:         id[pRoot] = qRoot;

  41:         //每次合并，连通分量的数目减一

  42:         count--;

  43:     }

  44:  

  45:     public static void main(String[] args) {

  46:         DirectInput.directInput(args);

  47:         int N = StdIn.readInt();

  48:         UF uf = new QuickUnionUF(N);

  49:         for (int i = 0; i < N; i++) {

  50:             int p = StdIn.readInt();

  51:             int q = StdIn.readInt();

  52:             if (uf.connected(p, q))

  53:                 continue;

  54:  

  55:             uf.union(p, q);

  56:             StdOut.println(p + " " + q);

  57:         }

  58:         StdOut.println(uf.count() + " components");

  59:     }

  60:  

  61: }

(1)与quick-find不同的是，以触点p为索引的数组id[]不再表示p所在的连通分量，而是表示p所在的连通分量的另一个触点(也可能是它本身)，当它是本身时，该触点就是根触点，也就是连通分量所对应的树的根节点，这种联系称之为链接。

(2)森林的表示，实际上id[]数组用父链接的形式表示了一片森林。无论从任何触点所对应的节点开始跟踪链接，最终都能到达含有该节点的树的根节点(可用数学归纳法证明)。

算法分析

1.quick-union算法看似比quick-find算法块，因为它不需要为每对输入遍历整个数组。

2.①最好的情况下find(p),仅访问一次数组，此时触点p为根触点。

②最坏的情况下find(p),访问数组2N-1次

while(p != id[p]) p = id[p];

最坏的情况是触点p所在的连通分量对应的树退化成线性表而且仅有一个连通分量,而p在线性表的表尾。

while()循环的判断条件要访问N次数组，while()循环的执行体要访问N-1 次数组(当最后一次到达根节点时，不执行循环体)。共2N-1次。

3.由此可见，find(p)访问数组的次数，是由触点p对应的节点在树的高度所决定的。设p在树的中的高度为h，则访问数组的次数为2h+1次。

4.假设输入的是有序整数对0-1、0-2、0-3…0-N，N-1对之后的N个触点将全 部处于同一个连通分量内(详见main())，且由quick-union算法得到的树的高度为N-1，其中0→1，1→2…N-1→N。

对于整数对0-i，执行union(0,i)，将访问2i+1次数组。

①其中0的根触点是i-1，高度是i-1，根据3，find(0)访问数组2i-1次

②其中i的根触点是i，高度是0，根据3，find(i)访问数组1次

③将i-1的根触点(原指向本身，现指向触点i)的数组内容变成i，访问数组1次

PS：书上是2i+2次，我分析是0-i是连通的，这样0的根触点是i，i的根触点是i，find(0)访问2i+1次，find(i)访问1次

共2i+2次。

可根据main()方法，此时0和i应该不连通才对。

5.处理N对整数所需的所有find()操作访问是；Σ(1→N)(2i) = 2(1+2+…N) ~N2

可以看出quick-union和quick-find都是平方级别的算法。