数模笔记_多变量最优化的拉格朗日乘子方法中的灵敏性分析和影子价格

Date: 2_21
Name: Guo Yehao
Theme: Sensitivity Analysis and Shadow Price in Optimality with multiple variables
Reference: 数学建模方法与分析(华章)

承接之前的多变量最优化问题中，用拉格朗日乘子的方法讨论有约束条件的最优化问题，我们讨论这种范式下的灵敏性分析，分为弹性价格系数和约束条件的分析。

首先是分析弹性价格系数，和无约束条件下的最优化问题相比，仍然是分析三个量：两个决策变量和目标值。我们有两条线索去讨论：

第一种显得机械和普遍。考察约束条件在这种情况下的所起的作用，虽然它增加了我们之前的讨论的难度，但是不要被迷惑，它所起的真正作用就是带来求解过程和解的形式的改变。将价格弹性系数用参数的形式代替，依然用常规的拉格朗日乘子方法求解即可，我们可以表示出两个决策变量，接着赋值表示出目标值，用计算机代数系统做形式计算，表示出灵敏度系数，在给定点(我们在主体部分求解出的点)求出灵敏性系数的数值，对灵敏性系数的实际意义稍加解释。

再在一个较大范围分析价格弹性系数的影响，绘制两个决策变量和目标值关于价格弹性系数的曲线图。这可能与某些人对于灵敏性分析的"微小改变"认识不同，如果要强扣“帽子”，也许可以叫做稳健性分析吧。如果不谈什么形式上的“帽子”，从实际的角度去思考，对这个大范围问题的讨论有实际价值，它能够给出当价格弹性系数改变时，各个量的全局性改变。
第二种方法考虑到了梯度的几何意义，能够提供给我们在数学本质上的further insight。区别发生在目标值的讨论，我们此处不是通过全部赋值成关于价格弹性系数的一元函数，而是利用复合函数的链式法则，写出链式求导的符号表达式之后，利用数学上的原理简化求解。在无约束条件下，由于驻点的特殊性，很容易说明求导的前两项为零；在约束条件下，前两项可以表示成约束曲线(面)的切线和目标函数梯度的点积，由拉格朗日乘子方法，构造的拉格朗日函数在驻点处有目标函数的梯度向量与约束曲线(面)的梯度向量共线，而约束曲线(面)的梯度和切线是垂直的，因此目标函数的的梯度和约束曲线(面)的切线垂直，我们有前两项整体为零，于是乎目标值对价格弹性系数的导数就是复合函数表示下目标值对价格弹性系数的偏导数，我们由此跳过了冗长的代值求导过程。

我们对约束条件进行灵敏性分析，引出一个新颖的概念——影子价格。对它讨论过程中计算简单得多，不仅是思想简单，计算过程也十分简单，然而它对于生产的指导意义却是of significance的。将约束条件用参数形式代替，按照标准的拉格朗日乘子方法求解决策变量和目标值，接着求解对参数的灵敏度系数。讨论目标值对于参数的导数的意义：
- 从数学理论上讲，参数改变意味着约束曲线的平移，由于拉格朗日函数的驻点处有目标函数梯度和约束曲线梯度的线性关系，我们可以说约束曲线在参数改变的方向移动时，目标函数移动的速度是约束曲线的λ(拉格朗日乘子)倍；
- 从实际意义的角度讲，约束条件的参数值代表着生产能力，目标值代表利润，因此这个导数意味着每增加一个单位的生产能力，会带来的利润额外利润增加值，称此为影子价格。然而仅通过影子价格的正负不能做出是否增加生产的决策，事实上，在问题之外还要考虑增加单位生产能力的成本，当影子价格大于此成本时，可以做出增加生产的决策。

数模笔记_多变量最优化的拉格朗日乘子方法中的灵敏性分析和影子价格相关推荐

数模笔记_多变量最优化计算之随机搜索算法及建模案例
Date: 2_22 Name: Guo Yehao Theme: Calculation in Optimality with multiple variables Reference: 数学建模方 ...
数模笔记_多变量最优化计算之牛顿法
Date: 2_22 Name: Guo Yehao Theme: Calculation in Optimality with multiple variables Reference: 数学建模方 ...
数模笔记_单变量最优化
Date: 2_19 Name: Guo Yehao Theme: Optimality with one variable Reference: 数学建模方法与分析(华章) 从单变量最优化重谈问题分 ...
数模笔记_随机模型之马尔可夫链
Date: 2_25 Name: Guo Yehao Theme: Markov Chain Reference: 数学建模方法与分析(华章) 首先总结一下随机到达现象(泊松过程),分为连续型和离散型 ...
Python数模笔记-模拟退火算法（1）多变量函数优化
1.模拟退火算法模拟退火算法借鉴了统计物理学的思想,是一种简单.通用的启发式优化算法,并在理论上具有概率性全局优化性能,因而在科研和工程中得到了广泛的应用. 退火是金属从熔融状态缓慢冷却.最终达到能 ...
Python数模笔记-模拟退火算法（2）约束条件的处理
1.最优化与线性规划最优化问题的三要素是决策变量.目标函数和约束条件. 线性规划(Linear programming),是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的优化方法,常用于解决利用现有的资 ...
Python数模笔记-PuLP库（2）线性规划进阶
1.基于字典的创建规划问题上篇中介绍了使用 LpVariable 对逐一定义每个决策变量,设定名称.类型和上下界,类似地对约束条件也需要逐一设置模型参数.在大规模的规划问题中,这样逐个定义变量和设置 ...
Python数模笔记-Sklearn（5）支持向量机
支持向量机(Support vector machine, SVM)是一种二分类模型,是按有监督学习方式对数据进行二元分类的广义线性分类器. 支持向量机经常应用于模式识别问题,如人像识别.文本分类.手 ...
Python数模笔记-Sklearn（3）主成分分析
主成分分析(Principal Components Analysis,PCA)是一种数据降维技术,通过正交变换将一组相关性高的变量转换为较少的彼此独立.互不相关的变量,从而减少数据的维数. 1.数据 ...

数模笔记_多变量最优化的拉格朗日乘子方法中的灵敏性分析和影子价格

数模笔记_多变量最优化的拉格朗日乘子方法中的灵敏性分析和影子价格相关推荐

最新文章

热门文章