第二章 度量衡

长度

(一) 什么是长度

长度是一维空间的度量。

(二) 长度常用单位

公里(km) 米(m) 分米(dm) 厘米(cm) 毫米(mm) 微米(um)

(三) 单位之间的换算

1毫米 ＝1000微米 1厘米 ＝10 毫米 1分米 ＝10 厘米 1米 ＝1000 毫米 1千米＝1000 米

面积

(一)什么是面积

面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。

(二)常用的面积单位

* 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米

(三)面积单位的换算

* 1平方厘米 ＝100 平方毫米 * 1平方分米=100平方厘米 * 1平方米 ＝100 平方分米

* 1公倾 ＝10000 平方米 * 1平方公里 ＝100 公顷

体积和容积

(一)什么是体积、容积

体积，就是物体所占空间的大小。

容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。

(二)常用单位

1 体积单位：* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米

2 容积单位：* 升 * 毫升

(三)单位换算

1 体积单位：* 1立方米=1000立方分米 * 1立方分米=1000立方厘米

2 容积单位：* 1升=1000毫升 * 1升=1立方米 * 1毫升=1立方厘米

质量

(一)什么是质量

质量，就是表示表示物体有多重。

(二)常用单位

* 吨 t * 千克 kg * 克 g

(三)常用换算

* 一吨=1000千克 * 1千克=1000克

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时间

(一)什么是时间

是指有起点和终点的一段时间

(二)常用单位

世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、 秒

(三)单位换算

* 1世纪=100年 * 1年=365天 平年 * 一年=366天 闰年

* 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天 * 四、六、九、十一是小月小月 小月有30天

* 平年2月有28天 闰年2月有29天 * 1天= 24小时 * 1小时=60分 * 一分=60秒

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货币

(一)什么是货币

货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。

(二)常用单位

* 元 * 角 * 分

(三)单位换算

* 1元=10角 * 1角=10分

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第三章 代数初步知识

用字母表示数

1.用字母表示数的意义和作用

* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。

2.用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

(1)常见的数量关系

路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系： s=vt v=s/t t=s/v

总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系: a=bc b=a/c c=a/b

(2)运算定律和性质

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：(a+b)c=ac+bc

减法的性质：a-(b+c) =a-b-c

(3)用字母表示几何形体的公式

Ø 长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示。 c=2(a+b) s=ab

Ø 正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示。 c=4a s=a²

Ø 平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用s表示。s=ah

Ø 三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示。 s=ah/2

Ø 梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用s表示。

s=(a+b)h/2 s=mh

Ø 圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示，面积用s表示。 c=∏d=2∏r s=∏ r²

Ø 扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用s表示。 s=∏ nr²/360

Ø 长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示。

v=sh s=2(ab+ah+bh) v=abh

Ø 正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底面积用s表示， 体积用v表示.

s=6a² v=a³

Ø 圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示， 体积用v表示.

s侧=ch s表=s侧+2s底 v=sh

Ø 圆锥的高用h表示，底面积用s表示， 体积用v表示. v=sh/3

3 用字母表示数的写法

Ø 数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。

Ø 当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。

Ø 在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。

Ø 用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。

(4) 将数值代入式子求值

Ø 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。

Ø 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。

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简易方程

(一)方程和方程的解

1.方程：含有未知数的等式叫做方程。

注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。

方程和算术式不同。

算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。

方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时方程才成立 。

2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

3.解方程

解方程，求方程的解的过程叫做解方程。

4.列方程解应用题

1.列方程解应用题的意义

* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。

2. 列方程解答应用题的步骤

* 弄清题意，确定未知数并用x表示；

* 找出题中的数量之间的相等关系；

* 列方程，解方程；

* 检查或验算，写出答案。

3.列方程解应用题的方法

* 综合法：先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。

* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。

4.列方程解应用题的范围

小学范围内常用方程解的应用题

a一般应用题；

b和倍、差倍问题；

c几何形体的周长、面积、体积计算；

d 分数、百分数应用题；

e 比和比例应用题。

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比和比例

1.比的意义和性质

(1) 比的意义

两个数相除又叫做两个数的比。

“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

比的后项不能是零。

根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

(2)比的性质

比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。

(3)求比值和化简比

求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

(4)比例尺

图上距离：实际距离=比例尺

要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。

线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

(5)按比例分配

在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

2.比例的意义和性质

(1) 比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

(2)比例的性质

在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。

(3)解比例

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

3. 正比例和反比例

(1) 成正比例的量

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k(一定)

(2)成反比例的量

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k(一定)

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第四章 几何的初步知识

线和角

(1)线

* 直线

直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。

* 射线

射线只有一个端点；长度无限。

* 线段

线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。

* 平行线

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。

* 垂线

两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。

(2)角

(1)从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

(2)角的分类

锐角：小于90°的角叫做锐角。

直角：等于90°的角叫做直角。

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。

周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。

平面图形

1.长方形

(1)特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。

(2)计算公式 ：c=2(a+b) s=ab

2.正方形

(1)特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。

(2)计算公式 ：c=4a s=a²

3.三角形

(1)特征 ：由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。

(2)计算公式 ：s=ah/2

(3) 分类 ：

Ø 按角分

锐角三角形 ：三个角都是锐角。

直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。

钝角三角形：有一个角是钝角。

Ø 按边分

不等边三角形：三条边长度不相等。

等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。

等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。

4.平行四边形

(1) 特征 ：两组对边分别平行的四边形。

相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。

(2) 计算公式 ：s=ah

5. 梯形

(1)特征 ：只有一组对边平行的四边形。 中位线等于上下底和的一半。 等腰梯形有一条对称轴。

(2)公式 ：s=(a+b)h/2=mh

6. 圆

(1) 圆的认识

Ø 平面上的一种曲线图形。

Ø 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。

Ø 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。

Ø 在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。

Ø 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。

Ø 同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。

Ø 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。

Ø 圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。

(2)圆的画法

Ø 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即半径)；

Ø 把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上；

Ø 把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

(3) 圆的周长

Ø 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

Ø 把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。

(4) 圆的面积

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

(5)计算公式

d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r s=∏r²

7.扇形

(1) 扇形的认识

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。

扇形有一条对称轴。

(2) 计算公式 s=n∏r²/360

8.环形

(1) 特征

由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。

(2) 计算公式 s=∏(R²-r²)

9.轴对称图形

(1) 特征

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

正方形有4条对称轴， 长方形有2条对称轴。

等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。

等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。

菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。

立体图形

(一)长方体

1. 特征

六个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方形)。

相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。

有8个顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。

两个面相交的边叫做棱。

三条棱相交的点叫做顶点。

把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。

长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

2.计算公式 s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh

(二)正方体

1 .特征 ：六个面都是正方形 ；六个面的面积相等 ；12条棱，棱长都相等 ；有8个顶点 ，正方体可以看作特殊的长方体

2 .计算公式 S表=6a² v=a³

(三)圆柱

1.圆柱的认识

圆柱的上下两个面叫做底面。 圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做高 。

进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。

2.计算公式 ：s侧=ch s表=s侧+s底×2 v=sh/3

(四)圆锥

1. 圆锥的认识

圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

2.计算公式 ：v= sh/3

(五)球

1.认识

球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。 球和圆类似，也有一个球心，用O表示。 从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。

2. 计算公式 ： d=2r

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简单的统计

一 统计表

(一)意义

* 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。

(二)组成部分

* 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。

(三)种类

* 单式统计表：只含有一个项目的统计表。

* 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。

* 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。

(四)制作步骤

1.搜集数据

2.整理数据： 要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。

3.设计草表： 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。

4.正式制表： 把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。

二 统计图

(一)意义

* 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。

(二)分类

1.条形统计图

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。

优点：很容易看出各种数量的多少。

注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。

取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；

复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。

制作条形统计图的一般步骤:

(1)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

(2)在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。

(3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。

(4)按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。

2.折线统计图

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。

优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。

注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。

制作折线统计图的一般步骤:

(1)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

(2)在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。

(3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。

(4)按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。

3.扇形统计图

用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。

优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。

制扇形统计图的一般步骤：

(1)先算出各部分数量占总量的百分之几。

(2)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。

(3)取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。

(4)在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。