锐化（高通）空间滤波器

平滑通过称为低通滤波
类似于积分运算
锐化通常称为高通滤波
微分运算
高过（负责细节的）高频，衰减或抑制低频

基础 - 一阶导数和二阶导数的锐化滤波器

数字函数的导数是用差分来定义的。定义这些差分的方法有多种

一阶导数的任何定义都要满足如下要求：

恒定灰度区域的一阶导数必须为0
灰度台阶或斜坡开始处的一阶导数必须非零。
灰度斜坡上的一阶导数必须非零。

二阶导数的任何定义都要满足如下要求：

恒定灰度区域的二阶导数必须为零。
灰度台阶或斜坡的开始处和结束处的地阶导数必须非零。
灰度斜坡上的二阶导数必须为零。

一维函数f(x)f(x)f(x)的一阶导数的一个基本定义是差分：
∂f∂x=f(x+1)−f(x)(3.48)\frac{\partial f}{\partial x} = f(x+1) -f(x) \tag{3.48}∂x∂f=f(x+1)−f(x)(3.48)

二阶导数定义为差分：
∂2f∂x2=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)(3.49)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f(x+1) + f(x-1) - 2f(x) \tag{3.49}∂x2∂2f=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)(3.49)

def first_derivative(y):y_1 = np.zeros(len(y)-1)for i in range(1, len(y)):if i + 1 < len(y):y_1[i] = y[i+1] - y[i]return y_1def second_derivative(y):y_2 = np.zeros(len(y)-1)for i in range(1, len(y)):if i + 1 < len(y):y_2[i] = y[i+1] + y[i-1] - 2*y[i]return y_2

#一维数字一阶与二阶导数
y = np.arange(1, 7)
y = y[::-1]
y = np.pad(y, (3, 5), mode='constant', constant_values=(6, 1))
y = np.pad(y, (0, 5), mode='constant', constant_values=(0, 6))
x = np.arange(len(y))fig = plt.figure(figsize=(16, 4))
ax_1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax_1.plot(x, y, '-.s', label="data")
ax_1.legend(loc='best', fontsize=12)y_1 = first_derivative(y)
y_2 = second_derivative(y)ax_2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)
ax_2.plot(y_1[1:], ':o', label='First derivative')
ax_2.plot(y_2[1:], '--s', alpha=0.5, label='Second derivative')
ax_2.plot(np.zeros(19), '--k', alpha=0.5)
ax_2.legend(loc='best', fontsize=12)
plt.tight_layout()
plt.show()

二阶导数锐化图像–拉普拉斯

我们感兴趣的是各向同性核，这种核的响应与图像中灰度不连续的方向无关。最简单的各向同性导数算子（核）是拉普拉斯，它定义为：
∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2(3.50)\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \tag{3.50}∇2f=∂x2∂2f+∂y2∂2f(3.50)

我们把这个片子以离散形式表达:
∂2f∂x2=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)(3.51)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f(x+1, y) + f(x-1, y) -2f(x, y) \tag{3.51}∂x2∂2f=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)(3.51)
∂2f∂y2=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)(3.52)\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f(x, y+1) + f(x, y-1) -2f(x, y) \tag{3.52}∂y2∂2f=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)(3.52)

两个变量的离散拉普拉斯是
∇2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)(3.53)\nabla^2 f(x, y)= f(x+1, y) + f(x-1, y) + f(x, y+1) + f(x, y-1)-4f(x, y) \tag{3.53}∇2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)(3.53)

写成矩阵的形式就得到拉普拉斯核：
[01(f(x,y−1)的权值)01(f(x−1,y)的权值)−4(f(x,y)的权值)1(f(x+1,y)的权值)01(f(x,y+1)的权值)0]\begin{bmatrix} 0 & 1 (f(x,y-1)的权值) & 0 \\ 1 (f(x-1,y)的权值) & -4 (f(x,y)的权值) & 1 (f(x+1,y)的权值) \\ 0 & 1 (f(x,y+1)的权值) & 0\end{bmatrix}⎣⎡01(f(x−1,y)的权值)01(f(x,y−1)的权值)−4(f(x,y)的权值)1(f(x,y+1)的权值)01(f(x+1,y)的权值)0⎦⎤

图像的锐化的滤波原理也类似于描述的低通滤波，只不过使用不同的系数
后面两个是含对角项的扩展公式的核：

[0101−41010][1111−81111]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -8 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}⎣⎡0101−41010⎦⎤⎣⎡1111−81111⎦⎤

这两个是二阶导数定义得到的：

[0−10−14−10−10][−1−1−1−18−1−1−1−1]\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1\end{bmatrix}⎣⎡0−10−14−10−10⎦⎤⎣⎡−1−1−1−18−1−1−1−1⎦⎤

拉普拉斯是导数算子，因此会突出图像中的急剧灰度过渡，并且不会强调缓慢变化的灰度区域。这往往会产生具有灰色边缘线和其他不连续性的图像，它们都叠加在暗色无特征背景上。将拉普拉斯图像与原图相加，就可以“恢复”背景特征，同时保留拉普拉斯的锐化效果。 上面两个核得到的图像需要用原图减去得到的图，下面两个核得到的图像需要用原图加下得到的图，以实现锐化。

g(x,y)=f(x,y)+c[∇2f(x,y)](3.54)g(x,y) = f(x,y) + c[\nabla^2 f(x,y)] \tag{3.54}g(x,y)=f(x,y)+c[∇2f(x,y)](3.54)
使用上面的前两个核，则c=−1c = -1c=−1，后面的两个二阶导数定义的核则c=1c = 1c=1
两组核刚好相差一个负号

观察平滑与锐化核可发现，平滑核的系数之和为1，锐化核的系数之和为0。用锐化核处理图像时，有会出现负值，需要进行额外处理才能得到合适的视觉结果。

# Laplacian filter 不同的核，拉普拉斯锐化
img = cv2.imread('DIP_Figures/DIP3E_Original_Images_CH03/Fig0338(a)(blurry_moon).tif', 0)
img = normalize(img)kernel_laplacian_a = np.array([[0,1,0],[1,-4,1],[0,1,0]])
# 下面这个核虽然可以锐化，但是效果没有上面这个好
# kernel_laplacian_d = np.array([[
#                     [-1, -1, -1],
#                     [-1, 8, -1],
#                     [-1, -1, -1]
#                                 ]])
laplacian_img_a = filter_2d(img, kernel_laplacian_a, mode='constant')
laplacian_img_b = filter_2d(img, -kernel_laplacian_a, mode='constant')plt.figure(figsize=(14, 16))
plt.subplot(2, 2, 1), plt.imshow(img, cmap='gray', vmin=0, vmax=1), plt.title('Original')
plt.subplot(2, 2, 2), plt.imshow(laplacian_img_a, cmap='gray', vmax=1), plt.title('Laplacian')laplacian_img_ori = normalize(img - laplacian_img_a)
plt.subplot(2, 2, 3), plt.imshow(laplacian_img_ori, cmap='gray', vmax=1), plt.title('Laplacian With ORI')laplacian_imgori = normalize(img + laplacian_img_b)
plt.subplot(2, 2, 4), plt.imshow(laplacian_imgori, cmap='gray', vmax=1), plt.title('Laplacian With ORI')plt.tight_layout()
plt.show()

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锐化（高通）空间滤波器

基础 - 一阶导数和二阶导数的锐化滤波器

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