生成n套数位加减乘除_leetcode 算法汇总（四）位运算

一、运算符

& 与运算：两个位都是 1 时，结果才为 1，否则为 0
| 或运算：两个位都是 0 时，结果才为 0，否则为 1
^ 异或运算：两个位相同则为 0，不同则为 1
~ 取反运算：0 则变为 1，1 则变为 0
<< 左移运算：向左进行移位操作，高位丢弃，低位补 0 （每左移一位相当于乘一次2）
>> 右移运算：向右进行移位操作，对无符号数，高位补 0，对于有符号数，高位补符号位（每右移一位相当于除一次2）

二、应用场景

^ 异或运算性质：

（1）交换律

（2）结合律（即(a^b)^c == a^(b^c)）

（3）对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x

（4）自反性 A ^ B ^ B = A ^ 0 = A

常见应用：

与运算的应用：（1）清零。如果想将一个单元清零，即使其全部二进制位为0，只要与一个各位都为零的数值相与，结果为零。（2）取一个数中指定位
或运算的应用：对一个数的某几位补1
异或运算的应用：消去一对重复的数（利用上面），交换变量等等。
取模：位运算比加减乘除更加高效。所以在一些底层的组件例如jdk， redis 中经常用位运算，比如用<< ，>>代替乘除，用& 代替取模操作。
状态压缩和位图：位运算可以用压缩存储和表示信息。每个二进制位有0|1 两种状态，那一个int32 可以表示出 32种状态。比如linux中的文件状态中的read ，write，和执行权限就可以用三个二进制位表示， 7（111）表示有Read的权限，有Write的权限和执行的权限。

三、例题

1、 不使用中间变量交换两数

// 思路： 利用上面提到的异或的结合率 和自反率
// a = (a ^ b) ^ b , b = a ^ b ^ a
void swap(int &a, int &b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;
}

2、 数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现两次，找出出现一次的数 (leetcode - 136)

    public int singleNumber(int[] nums) {int res = 0;for(int i = 0; i < nums.length; i++) {res = res ^ nums[i];}return res;}

3、用 O(1) 时间检测整数 n 是否是 2 的幂次（LintCode - 142）

/** 思路： 常用技巧：n&(n-1)消去n 的二进制最后一位的1
* 比如3&(3-1) = (11)&(10) = (10) ,
* 如果是2的幂次， 那二进制形式下只有一位是1， 消去后为0
*/    public boolean checkPowerOf2(int n) {if(n <= 0) return false;return (n & (n - 1)) == 0;}

4、子集列举（leetcode - 78 medium）

描述：

Given a set of distinct integers, nums, return all possible subsets (the power set).

Note: The solution set must not contain duplicate subsets.

Example:

Input: nums = [1,2,3]
Output:
[[3],[1],[2],[1,2,3],[1,3],[2,3],[1,2],[]
]

思路：（这道题递归做感觉也很容易理解）

注意数组中数字唯一，可以把这道题理解成高中数学中的排列组合问题。每个数字有取或不取两种可能性， n个数有2的n次方个子集。可以用一个正整数二进制表示的第i位是1还是0，代表集合的第i个数取或者不取。类似下图：

0 000 {}
1 001 {1}
2 010 {2}
3 011 {1,2}
4 100 {3}
5 101 {1,3}
6 110 {2,3}
7 111 {1,2,3}

A：

    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {int n = nums.size()int p = 1 << n;vector<vector<int>> subs(p);for (int i = 0; i < p; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {// 用 i>>j & 1的方式遍历每一位if ((i >> j) & 1) {subs[i].push_back(nums[j]);}}}return subs;}

5、位图

描述：有一千万个整数，整数范围在1到1亿之间，如何快速查找某个整数是否在这1千万个整数中。

思路：用一个bit 数组来存储这1-1亿之间的数。如果数字存在，在对应的下标上标1， 1亿个数只需要1亿个bit位。

public class BitMap { // Java 中 char 类型占 16bit，也即是 2 个字节private char[] bytes;private int nbits;public BitMap(int nbits) {this.nbits = nbits;this.bytes = new char[nbits/16+1];}public void set(int k) {if (k > nbits) return;int byteIndex = k / 16;int bitIndex = k % 16;bytes[byteIndex] |= (1 << bitIndex);}public boolean get(int k) {if (k > nbits) return false;int byteIndex = k / 16;int bitIndex = k % 16;return (bytes[byteIndex] & (1 << bitIndex)) != 0;}
}