“备忘”的定义

“memoization”(备忘)这个词是由Donald Michie在1968年提出的，它基于拉丁语单词“memorandum”(备忘录)，意思是“被记住”。虽然它和单词“memorization”在某种程度上有些相似，但它并不是该单词的错误拼写。实际上，Memoisation是一种用于通过计算来加速程序的技术，它通过记住输入量的计算结果，例如函数调用结果，来实现其加速目的。如果遇到相同的输入或者具有相同参数的函数调用，那么之前存储的结果就可以被再次使用，从而避免一些不必要的计算。在很多情况下，可以使用一个简单的数组来存储结果，但也可以使用许多其他的数据结构，例如关联数组，它在Perl语言中叫做哈希，在Python语言中称为字典。

备忘功能可以由程序员显式地编程实现，但是一些编程语言如Python，都提供了自动备忘函数的机制。

利用函数装饰器实现备忘功能

在前面关于递归函数的那章中，我们分别使用迭代和递归实现了斐波纳契数列的求解。我们已经证明，如果直接利用斐波纳契数列的数学定义，在一个递归函数中实现数列的求解，正如下面的函数一样，那么它将具有指数级的时间复杂度：

def fib(n):

if n == 0:

return 0

elif n == 1:

return 1

else:

return fib(n-1) + fib(n-2)

此外，我们还提出了一种提高递归实现的时间复杂度的方法，即通过添加一个字典来记住之前函数的计算结果。这是一个显式地使用备忘技术的例子，只是当时我们并没有这么称呼它。这种方法的缺点是，原始递归实现的明晰性和优雅性丢失了。

造成以上缺点的原因是，我们改变了递归函数fib的代码。不过下面的代码不会改变我们的fib函数，所以它的明晰性和易读性并没有丢失。为了实现该目的，我们使用自定义的函数memoize()。函数memoize()以函数作为参数，并使用一个字典“memo”来存储函数的结果。虽然变量“memo”和函数“f”仅仅具有局部备忘功能，但是它们通过函数“helper”被一个闭包捕获，而memoize()将函数“helper”作为引用返回。所以，对memoize(fib)的调用将会返回一个helper()的引用，而在helper()中实现了fib()函数的功能以及一个用于保存还未存储的结果到字典“memo”中的包装器，并防止重新计算“memo”中已有的结果。

def memoize(f):

memo = {}

def helper(x):

if x not in memo:

memo[x] = f(x)

return memo[x]

return helper

def fib(n):

if n == 0:

return 0

elif n == 1:

return 1

else:

return fib(n-1) + fib(n-2)

fib = memoize(fib)

print(fib(40))

现在让我们了解下所谓的装饰器，首先看一下上面代码中将备忘功能指派到fib函数的这一行：

fib = memoize(fib)

一种说法是，函数memoize()装饰了函数fib。

将Memoize封装成类

我们还可以将结果的缓存封装到一个类中，如下面的例子所示：

class Memoize:

def __init__(self, fn):

self.fn = fn

self.memo = {}

def __call__(self, *args):

if args not in self.memo:

self.memo[args] = self.fn(*args)

return self.memo[args]

因为我们使用了字典，所以不能使用可变参数，即参数必须是不可变的。

Python中的装饰器

Python中的装饰器是一个可调用的Python对象，用于修改一个函数、方法或者类的定义。原始的对象，也就是即将被改变的那个对象，作为参数传递给一个装饰器，而装饰器则返回一个修改过的对象，例如一个修改过的函数，它会被绑定到定义中使用的名字上。Python中的装饰器与Java中的注解有一个相似的语法，即Python中的装饰器语法可以看作是纯粹的语法糖，使用“@”作为关键字。

示例：使用装饰器实现备忘功能

其实，前面我们已经使用了装饰器，只是没有这么称呼它而已。实际上，本章开头例子中的memoize函数就是一个装饰器，我们使用它来记住fib函数的结果，只是我们没有使用Python中装饰器特殊的语法而已，即艾特字符“@”。

相比于写成下面的形式

fib = memoize(fib)

我们可以这样写

@memoize

但这一行必须直接写在被装饰的函数之前，在我们的例子fib()中，如下所示：

def memoize(f):

memo = {}

def helper(x):

if x not in memo:

memo[x] = f(x)

return memo[x]

return helper

@memoize

def fib(n):

if n == 0:

return 0

elif n == 1:

return 1

else:

return fib(n-1) + fib(n-2)

#fib = memoize(fib)

print(fib(40))

利用装饰器检查参数

在讲解递归函数的那章中我们介绍了阶乘函数，在那里我们希望保持函数尽可能简单，而不想掩盖基本理念，所以代码中没有包含任何参数检查代码。然而，如果别人以负数或者浮点数作为参数来调用我们的函数，那么函数将会陷入一个死循环。

下面的程序使用一个装饰器函数来确保传给函数“factorial”的参数是一个正整数：

def argument_test_natural_number(f):

def helper(x):

if type(x) == int and x > 0:

return f(x)

else:

raise Exception("Argument is not an integer")

return helper

@argument_test_natural_number

def factorial(n):

if n == 1:

return 1

else:

return n * factorial(n-1)

for i in range(1,10):

print(i, factorial(i))

print(factorial(-1))

练习

1、我们的练习是一个古老的谜题。1612年，法国耶稣会士Claude-Gaspar Bachet提出了该谜题，即使用一个天平称出从1磅到40磅的所有整数重量的东西(例如，糖或者面粉)，求最少的砝码数量。

第一个方法可能是使用1、2、4、8、16和32磅重量的这些砝码。如果我们将砝码放在天平的一端，而将物品放在另一端，那么这种方法用到的砝码数量将是最小的。然而，我们也可以将砝码同时放在天平的两端，此时我们仅仅需要重量为1、3、9、27的砝码。

编写一个Python函数weigh()，该函数计算需要的砝码以及它们在天平盘中的分布，以此来称量1磅到40磅中任何一个整数重量的物品。

解决方法

1、我们需要前面章节“Linear Combinations”中的函数linear_combination()。

def factors_set():

factors_set = ( (i,j,k,l) for i in [-1,0,1]

for j in [-1,0,1]

for k in [-1,0,1]

for l in [-1,0,1])

for factor in factors_set:

yield factor

def memoize(f):

results = {}

def helper(n):

if n not in results:

results[n] = f(n)

return results[n]

return helper

@memoize

def linear_combination(n):

""" returns the tuple (i,j,k,l) satisfying

n = i*1 + j*3 + k*9 + l*27 """

weighs = (1,3,9,27)

for factors in factors_set():

sum = 0

for i in range(len(factors)):

sum += factors[i] * weighs[i]

if sum == n:

return factors

2、利用上面的代码，就能很容易写出我们的函数weigh()。

def weigh(pounds):

weights = (1,3,9,27)

scalars = linear_combination(pounds)

left = ""

right = ""

for i in range(len(scalars)):

if scalars[i] == -1:

left += str(weights[i]) + " "

elif scalars[i] == 1:

right += str(weights[i]) + " "

return (left,right)

for i in [2,3,4,7,8,9,20,40]:

pans = weigh(i)

print("Left pan: " + str(i) + " plus " + pans[0])

print("Right pan: " + pans[1] + "n")