LOG与DOG的关系

注意：这里只是推出LOG与DOG的关系

1）高斯函数：

（1）

2）DOG（Difference Of Gaussian）

DoG算子是LoG算子的近似，做法是求取不同sigma方差下的高斯滤波图像的差，这导致DoG图像有负数产生，因此实际操作时要把原图像素值设为有符号数。对高斯函数即式（1）求σ偏导。

不妨令：

（2）

则由式（2）求σ偏导得：

（3）

在不妨令

（4）

（5）

则对公式（4）求σ偏导为：

（6）

由（2）（6）可得出高斯函数对σ求偏导，即：
（7）

3）LOG（Laplacian Of Gaussian）

LOG算子可以用下式表示：

（8）

可以看出LOG就是高斯函数的二阶导。具体推导过程如下：

高斯函数可以转化为下式

（9）

不妨令

（10）

（11）

由公式（10）求得对x的偏导：
（12）

再次求导得：

（13）

同理可求得公式（10）对y的二次偏导：
（14）

所以公式（8）可表示为：

（15）

4）LOG与DOG的关系

由式（7）（15）可以看出：

（16）

由导数定义得：

（17）

则由（16）（17）得：

（18）

将公式（18）变形得：

（19）

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