简单的说，矩阵和数列这两个术语是经常可以替换使用的。更准确地说，矩阵是一个表示线性变换的二维数字数组。矩阵定义下的数学运算是线性代数的主题。

杜勒的魔方

A =

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

提供了几个例子，给出了MATLAB矩阵运算的一点味道。你已经看到了矩阵转置A’，加一个矩阵到它的转置得到一个对称矩阵。

A + A'

ans =

32 8 11 17

8 20 17 23

11 17 14 26

17 23 26 2

乘号*表示包括行与列的内积矩阵的乘法。用矩阵去乘它的转置也能得到对称矩阵。

A'*A

ans =

378 212 206 360

212 370 368 206

206 368 370 212

360 206 212 378

这矩阵的行列式为0，表示该矩阵是奇异阵。

d = det(A)

d =

0

A的简化行阶梯型不是单位矩阵。

R = rref(A)

R =

1 0 0 1

0 1 0 -3

0 0 1 3

0 0 0 0

由于矩阵是奇异的，因而它没有逆矩阵。如果你试图计算它的逆：

X = inv(A)

你会得到警告信息：

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 1.175530e-017.

四舍五入的误差从精确奇异性的探测中阻止了矩阵转置的算法。但是rcond的值(表示倒数条件估计)是和eps即浮点相对精度同阶数的，因此计算得的逆不太可能有用。

魔方的特征值很有趣。

e = eig(A)

e =

34.0000

8.0000

0.0000

-8.0000

特征值之中有一个为零。这是奇异性的另一个结论。最大的特征值为34，为幻和。那是因为元素全为1的向量是特征向量。

v = ones(4,1)

v =

1

1

1

1

A*v

ans =

34

34

34

34

当魔方按照它的幻和为比例分配时,

P = A/34

结果是双重随机矩阵，其行与列之和全是1。

P =

0.4706 0.0882 0.0588 0.3824

0.1471 0.2941 0.3235 0.2353

0.2647 0.1765 0.2059 0.3529

0.1176 0.4412 0.4118 0.0294

这样的矩阵表示转换的概率是一个马尔科夫(Markov)过程。矩阵重复的幂次表示过程重复的步骤。对于我们的例子，第5次方

P^5

是

0.2507 0.2495 0.2494 0.2504

0.2497 0.2501 0.2502 0.2500

0.2500 0.2498 0.2499 0.2503

0.2496 0.2506 0.2505 0.2493

这表示当k趋于无穷大时，所有元素的k次方Pk趋于1/4。

最后，特征多项式中的系数

poly(A)

是

1 -34 -64 2176 0

这表明特征多项式

det( A –

I )

是

4 – 34

3 – 64

2 + 2176

常数项是零，因为矩阵是奇异的，立方项系数是-34，因为矩阵是魔方！

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