[概率论]-随机变量

#(一)随机变量的概念

定义(随机变量)
设随机试验E的样本空间为S={e}
若X=X(e)是定义在样本空间S上的一个单值实函数，则称X=X(e)为随机变量。
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随机变量主要有离散型和连续型两类:

若随机变量只可能取有限个或可数无限个值时，则称之为离散型随机变量。

若随机变量可以取一个区间中的所有实数时，则称之为连续型随机变量。

#(二)随机变量的例子

例1 掷硬币的试验中
样本空间 S={正面(H), 反面(T)}
令 X(H)=1， X(T)=0，得随机变量X=X(e)。   离散型
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例2 随机取一个正实数，其结果η是一个随机 变量，取值范围是区间(0, +∞)。   连续型
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#(三)随机变量的概率

随机变量的取值是由随机试验的结果确定。
随机变量 X 取某个值x的事件用记号 {X=x} 表示，其概率记为P{X=x}。
一般，若L是一个实数集，将随机变量 X 在 L中取值的事件记作 {X ∈ L}
其概率记为 P{X∈L}
P{X∈L}=P{e|X(e)∈L}
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#(四)离散型随机变量的分布律

要掌握或描述一个离散型随机变量X的统计规律，必须且只需知道X的所有可能的取值，以及每一个可能的取值的概率。

为直观起见，我们将随机变量的取值及其概率用表格写成由概率的定义，离散型随机变量的概率 Pk 满足以下基本性质:

(1) 非负性 pk≧0, k=1, 2, ...
(2) 规范性 p1+p2+...+pn+...= 1 所有概率相加等于1
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掷一枚骰子的分布律为

#(五)(0-1)分布

定义
只取0和1两个值的随机变量所服从的 分布称为 0-1分布 (两点分布)。
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例

如果一个随机试验的样本空间只包含两个元素，即S={e1 ,e2 }
我们总能在S上定义一个服从0-1分布(两点分布) 的随机变量X来描述这个随机试验的结果，
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#(六)伯努利试验

n重伯努利试验的特点:
(1) 每次试验只有两个结果:A及其对立事件。
(2) 概率不变:P(A)=p。
(3) 各次试验相互独立。
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例如，抛硬币一次，结果只有两个结果: 出现正面和出现反面这就是伯努利试验。若将硬币抛n次，每次出现正面的概率都是1/2，这就是n重伯努利试验。又如，设一批产品的合格率为90%。从中取出一件，检查它是否合格，结果只有两个结果:合格和不合格。这就是伯努利试验。

#(七) 二项分布

二项分布是伯努利概型的概率分布

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