1 人工智能与机器学习

人工智能分类：强人工智能、弱人工智能、超级人工智能
机器学习分类：有监督学习、无监督学习、强化学习

人工智能，机器学习和深度学习的关系如下图所示：

1.2 起源与发展

第1阶段：提出MP神经元模型、感知器、ADLINE神经网络，并指出感知器只能解决简单的线性分类任务，无法解决XOR简单分类问题
第2阶段：提出Hopfiled神经网络、误差反向传播算法、CNN
第3阶段：提出深度学习概念，在语音识别、图像识别的应用

1.3 深度学习定义与分类

定义：采用多层网络结构对未知数据进行分类或回归
分类：
1. 有监督学习：深度前馈网络、卷积神经网络、循环神经网络等
2. 无监督学习：深度信念网、深度玻尔兹曼机、深度自编码器等

1.4 主要应用

图像处理领域：图像分类、物体检测、图像分割、图像回归
语音识别领域：语音识别、声纹识别、语音合成
自然语音处理领域：语言模型、情感分析、神经机器翻译、神经自动摘要、机器阅读理解、自然语言推理
综合应用：图像描述、可视回答、图像生成、视频生成

2 深度学习数学基础

主要涵盖四个部分：矩阵论，概率统计，信息论，和最优化估计。

2.1 矩阵论

张量：标量是0阶张量，矢量是1阶张量，矩阵是2阶张量，三维及以上数组称为张量
矩阵的秩（Rank）：矩阵向量中的极大线性无关组的数目
矩阵的逆：
1. 奇异矩阵：rank(A_{n×n})<nrank(An×n)<n
2. 非奇异矩阵：rank(A_{n×n})=nrank(An×n)=n
广义逆矩阵：如果存在矩阵BB使得ABA=AABA=A，则称BB为AA的广义逆矩阵
矩阵分解：
1. 特征分解：A = U\Sigma U^{T}A=UΣUT
2. 奇异值分解：A = U \Sigma V^{T}A=UΣVT、U^T U = V^T V = IUTU=VTV=I

2.2 概率统计

随机变量：
1. 分类：离散随机变量、连续随机变量
2. 概念：用概率分布来指定它的每个状态的可能性

常见的随机变量的概率分布如下：

离散型随机变量

连续型随机变量

多个变量时，概率分布会有不同

条件概率
联合概率
先验概率
后验概率
全概率公式
贝叶斯公式

常用统计量为

方差
协方差

2.3 信息论

熵：样本集纯度指标，或样本集报班的平均信息量

H(X) = - \sum_{i = 1}^n P(x_i) \log_2 P(x_i)H(X)=−i=1∑nP(xi)log2P(xi)
联合熵：度量二维随机变量XYXY的不确定性

H(X, Y) = -\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n P(x_i, y_j) \log_2 P(x_i, y_j)H(X,Y)=−i=1∑nj=1∑nP(xi,yj)log2P(xi,yj)
条件熵：

\begin{aligned} H(Y|X) &= \sum_{i = 1}^n P(x_i) H(Y|X = x_i) \\ &= -\sum_{i = 1}^n P(x_i) \sum_{j = 1}^n P(y_j | x_i) \log_2 P(y_j | x_i) \\ &= -\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n P(x_i, y_j) \log_2 P(y_j | x_i) \end{aligned}H(Y∣X)=i=1∑nP(xi)H(Y∣X=xi)=−i=1∑nP(xi)j=1∑nP(yj∣xi)log2P(yj∣xi)=−i=1∑nj=1∑nP(xi,yj)log2P(yj∣xi)
互信息：

I(X;Y) = H(X)+H(Y)-H(X,Y)I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)
相对熵：又称KL散度，描述两个概率分布PP和QQ差异，用概率分布QQ拟合真实分布PP时，产生的信息表达损耗
1. 离散形式：\displaystyle D(P||Q) = \sum P(x)\log \frac{P(x)}{Q(x)}D(P∣∣Q)=∑P(x)logQ(x)P(x)
2. 连续形式：\displaystyle D(P||Q) = \int P(x)\log \frac{P(x)}{Q(x)}D(P∣∣Q)=∫P(x)logQ(x)P(x)
交叉熵：目标与预测值之间的差距

\begin{aligned} D(P||Q) &= \sum P(x)\log \frac{P(x)}{Q(x)} \\ &= \sum P(x)\log P(x) - \sum P(x)\log Q(x) \\ &= -H(P(x)) -\sum P(x)\log Q(x) \end{aligned}D(P∣∣Q)=∑P(x)logQ(x)P(x)=∑P(x)logP(x)−∑P(x)logQ(x)=−H(P(x))−∑P(x)logQ(x)

2.4 最优化估计

最小二乘估计：采用最小化误差的平方和，用于回归问题。
最小二乘估计又称最小平方法，是一种数学优化方法。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。最小二乘法经常应用于回归问题，可以方便地求得未知参数，比如曲线拟合、最小化能量或者最大化熵等问题。

线性代数

标量（scalar）：一个标量就是一个单独的数。
向量（vector）：一个向量是一列数。
矩阵（matrix）：矩阵是一个二维数组，其中的每一个元素被两个索引所确定。
张量（tensor）：一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网络中，称之为张量。
转置（transpose）：矩阵的转置是以主对角线为轴的镜像。
单位矩阵（identity matrix）：所有沿主对角线的元素都是1，所有其他位置的元素都是0.
对角矩阵（diagonal matrix）：只在主对角线上含有非零元素，其他位置都是0。
正交矩阵（orthogonal matrix）：行向量和列向量分别标准正交的方阵。
正定（positive definite）：矩阵所有特征值都是正数。
半正定（positive semidefinite）：矩阵所有特征值都是非负数。
负定（negative definite）：矩阵所有特征值都是负数。
半负定（negative semidefinite）：矩阵所有特征值都是非正数。
矩阵的秩（rank）：矩阵列向量中的极大线性无关组的数目，记作矩阵的列秩，同样可以定义行秩。行秩=列秩=矩阵的秩，通常记作rank(A)。

参考资料：Unusual-Deep-Learning

深度学习概述和数学基础

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2.4 最优化估计

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