每日算法系列【LeetCode 124】二叉树中的最大路径和
题目描述
给定一个非空二叉树,返回其最大路径和。
本题中,路径被定义为一条从树中任意节点出发,达到任意节点的序列。该路径至少包含一个节点,且不一定经过根节点。
示例1
输入:
[1,2,3]1/ \2 3
输出:
6
示例1
输入:
[-10,9,20,null,null,15,7]-10/ \9 20/ \15 7
输出:
42
题解
这是一道树形 dp 入门题,也就是树上的动态规划。
首先要理解它这个输入什么意思,虽然写代码的时候不用你管,已经给你处理成结构体了。 输入是一个数组,其实是二叉树的层次遍历,也就是从第一层(根结点)开始,往下一层一层遍历结点,同一层从左往右遍历。
这题要求的是一条路径,路径上的数字之和要最大。 我们采用递归来做这题,假设dfs(r)
表示以 r 为根结点的子树中最长路径的和,而左右子结点用 l 和 r 来表示。
那么有人可能会说,这不是很简单了嘛。 一共就下面几种情况:
- 只取根结点:
r->val
- 只取左子树:
dfs(l)
- 只取右子树:
dfs(r)
- 取根结点和左子树:
r->val + dfs(l)
- 取根结点和右子树:
r->val + dfs(r)
- 取根结点和左子树和右子树:
r->val + dfs(l) + dfs(r)
最后的答案就是dfs(root)
。
然而这样对吗?其实是错的,刚开始我也犯了这样的错误(好久没做树形 dp 了,见笑了)。 为什么是错的呢?试想这么一种情况,万一左子树的最优解是不经过左子结点的话,怎么与根结点连接起来呢? 这种情况下你的计算就有问题了,所以我们必须加强一下之前的假设。
这次我们假设dfs(r)
表示以 r 为根结点的子树中经过根结点 r 的最长路径的和。 现在继续分成上面的几种情况讨论,然而最后的dfs(root)
意思变了,指的是必须经过根结点 root 的最优路径之和。 那怎么办呢?很好办,只需要用一个全局变量,每次递归的时候都更新一下最大值就行了,因为总有一个结点是最优路径所在子树的根结点。
分析到这里,貌似都对了,但是还有问题吗? 注意看上面的第2、3、6
三种情况,如果最优情况是这三种,然后用它们更新dfs(r)
,会出现什么情况? 情况2、3
会导致回溯之后,在根结点 r 处断开了,也就是不经过 r 了,那再高层也就没法求解了。 而情况6
会导致路径出现左右分叉,这也是不允许的。 所以递归的最后更新时,只能用其他三种情况更新。
代码
c++
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* TreeNode *left;
* TreeNode *right;
* TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
* };
*/
class Solution {public:int res = INT_MIN;int maxPathSum(TreeNode* root) {dfs(root);return res;}int dfs(TreeNode* root) {if (root == NULL) return 0;int l_max_sum = dfs(root->left);int r_max_sum = dfs(root->right);int sum = root->val;sum = max(sum, sum + l_max_sum);sum = max(sum, sum + r_max_sum);res = max(res, sum);return max({0, l_max_sum, r_max_sum}) + root->val;}
};
python
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.left = None
# self.right = Noneclass Solution:res = -sys.maxsizedef maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:self.dfs(root)return self.resdef dfs(self, root: TreeNode) -> int:if root == None:return 0l_max_sum = self.dfs(root.left)r_max_sum = self.dfs(root.right)sum = root.valsum = max(sum, sum + l_max_sum)sum = max(sum, sum + r_max_sum)self.res = max(self.res, sum)return max(0, l_max_sum, r_max_sum) + root.val
后记
这题虽然是困难题,但是也是树形 dp 的入门题,思考起来和实现起来 trick 还是挺多的。
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