计算机小白也看得懂的Liang-Barsky算法

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算法背景

Liang-Barsky算法由梁友栋和Barsky共同发表，是目前计算机图形学最经典的算法之一。他们认为线段裁剪的问题是：裁剪窗口是二维对象，而线段是一维对象，两个对象的维度不同不便比较。他们给出的解决思路是，将裁剪线段和裁剪窗口看为点集裁剪的结果是两个点集的交集。

算法思想

Liang-Barsky算法的主要思想有两部分：

用参数方程表示直线
将待裁剪直线看作是一个有方向的线

用参数方程表示直线

算法背景中提到Liang-Barsky算法的解决思路是，将裁剪线段和裁剪窗口看为点集裁剪的结果是两个点集的交集。那么裁剪线段如何转换点集呢？很显然用参数方程来表示直线。

设待裁剪线段为P1P2P_1P_2P1P2，其中P1=(x1,y1),P2=(x2,y2)P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2)P1=(x1,y1),P2=(x2,y2)，用参数关系u表示有下图关系：

显见有如下关系：

{x=x1+u∗(x2−x1)=x1+u∗Δx0≤u≤1;y=y1+u∗(y2−y1)=y1+u∗Δy0≤u≤1.\begin{cases}x=x_1+u*(x2-x1)=x_1+u*\Delta x & 0\leq u \leq 1;\\y=y_1+u*(y2-y1)=y_1+u*\Delta y & 0\leq u \leq 1.\end{cases}{x=x1+u∗(x2−x1)=x1+u∗Δxy=y1+u∗(y2−y1)=y1+u∗Δy0≤u≤1;0≤u≤1.

当u=0u=0u=0时，x=x1,y=y1x=x_1,y=y_1x=x1,y=y1也就是P1P_1P1；
当u=1u=1u=1时，x=x2,y=y2x=x_2,y=y_2x=x2,y=y2也就是P2P_2P2；
当u=0.5u=0.5u=0.5时，也就是该直线中点位置。

由上面三种情况可以很容易归纳出该图像的几何意义：也就是u值即可表示要裁剪线段的多少

将待裁剪直线看作是一个有方向的线

从上面我们知道u的取值可以决定线段要裁剪的多少，那么u到底如何取值变成了现在的首要目标？

我们将四个窗口的交边分别定义成两类边：入边和出边

入边：指从裁剪窗口之外进入到裁剪窗口方向的边
出边：指从裁剪窗口之内延伸到窗口之外的边

待裁剪线段和裁剪窗口必定会有四个交点（包括与裁剪窗口延长线的交点）分别设四个交点分别为c1,c2,c3,c4c_1,c_2,c_3,c_4c1,c2,c3,c4。设待裁剪直线为P1P2P_1P_2P1P2。则有下图：

显见要裁剪线段为P1P_1P1和c3c_3c3所夹线段，所以u的选取就要从P1,c3P_1,c_3P1,c3所对应u1,u2u_1,u_2u1,u2入手，则显见有如下关系式：

u1=max(c1,c2,P1)u_1=max(c_1,c_2,P_1)u1=max(c1,c2,P1) u1u_1u1是两个入边和P1P_1P1对应u值的最小值
u2=min(c3,P2,c4)u_2=min(c_3,P_2,c_4)u2=min(c3,P2,c4) u2u_2u2是两个出边和P2P_2P2对应u值的最大值

u1,u2u_1,u_2u1,u2的值要满足u1<u2u_1<u_2u1<u2

只要求出u1,u2u_1,u_2u1,u2就能算出裁剪线段，但是要求出u1,u2u_1,u_2u1,u2的话，就又出现了两个新的问题：

如何算出四个交点c1,c2,c3,c4c_1,c_2,c_3,c_4c1,c2,c3,c4所对应的u值
如何确定哪两个边是出边，哪两个边是入边

四个交点对应的u值

在上面用参数方程表示直线章节中，我们提出了：

我们不妨先考虑下，在u为何值时，(x,y)(x,y)(x,y)位于裁剪窗口之内？我们设裁剪窗口的上边界为ymaxy_{max}ymax，下边界为yminy_{min}ymin，左边界为xminx_{min}xmin，右边界为xmaxx_{max}xmax，结合上式有：

{xmin≤x1+u∗Δx≤xmaxymin≤y1+u∗Δy≤ymax\begin{cases}x_{min}\leq x_1+u*\Delta x \leq x_{max}\\ y_{min}\leq y_1+u*\Delta y \leq y_{max}\end{cases}{xmin≤x1+u∗Δx≤xmaxymin≤y1+u∗Δy≤ymax

可以看出当
{x1+u∗Δx=xminx1+u∗Δx=xmaxy1+u∗Δy=yminy1+u∗Δy=ymax\begin{cases}x_1+u*\Delta x=x_{min}\\ x_1+u*\Delta x=x_{max}\\y_1+u*\Delta y = y_{min}\\y_1+u*\Delta y = y_{max}\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1+u∗Δx=xminx1+u∗Δx=xmaxy1+u∗Δy=yminy1+u∗Δy=ymax
时，为裁剪直线和四个边界的交点值，所以我们可以很轻松的算出四个对应的u值，此处不在赘述。

出入边的确定

上面我们只提到了不等式的四个特殊情况，不失一般性，这里我们写出不等式的所有情况：
{xmin≤x1+u∗Δx≤xmaxymin≤y1+u∗Δy≤ymax\begin{cases}x_{min}\leq x_1+u*\Delta x \leq x_{max}\\ y_{min}\leq y_1+u*\Delta y \leq y_{max}\end{cases}{xmin≤x1+u∗Δx≤xmaxymin≤y1+u∗Δy≤ymax
可化简为：
{u∗(−Δx)≤x1−xminu∗Δx≤xmax−x1u∗(−Δy)≤y1−yminu∗Δy≤ymax−y1\begin{cases} u*(-\Delta x) \leq x_1 - x_{min}\\ u*\Delta x \leq x_{max} - x_1\\ u*(-\Delta y) \leq y_1 - y_{min}\\ u*\Delta y \leq y_{max} - y_1\\ \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧u∗(−Δx)≤x1−xminu∗Δx≤xmax−x1u∗(−Δy)≤y1−yminu∗Δy≤ymax−y1
上面四种情况可以归纳成

u∗pk≤qk,k=1,2,3,4u*p_k\leq q_k,k=1,2,3,4u∗pk≤qk,k=1,2,3,4

使用穷举法可知：

当pk<0p_k<0pk<0时，线段从裁剪边界延长线的外部延伸到内部，也就是入边
当pk>0p_k>0pk>0时，线段从裁剪边界延长线的内部延伸到外部，也就是出边

显见，当pk=0p_k=0pk=0时，且qk<0q_k<0qk<0，则线段完全在边界外；若qk≥0q_k\geq 0qk≥0，则线段完全在边界内

代码实现

def Liang-Barsky(p_list, x_min, y_min, x_max, y_max):"""线段裁剪:param p_list: (list of list of int: [[x0, y0], [x1, y1]]) 线段的起点和终点坐标:param x_min: 裁剪窗口左上角x坐标:param y_min: 裁剪窗口左上角y坐标:param x_max: 裁剪窗口右下角x坐标:param y_max: 裁剪窗口右下角y坐标:return: (list of list of int: [[x_0, y_0], [x_1, y_1]]) 裁剪后线段的起点和终点坐标"""result = []if y_min > y_max:y_min, y_max = y_max, y_minx0, y0 = p_list[0]x1, y1 = p_list[1]p = [x0-x1, x1-x0, y0-y1, y1-y0]q = [x0-x_min, x_max-x0, y0-y_min, y_max-y0]u0, u1 = 0, 1for i in range(4):if p[i] < 0:u0 = max(u0, q[i]/p[i])elif p[i] > 0:u1 = min(u1, q[i]/p[i])elif (p[i] == 0 and q[i] < 0):result = [[0,0], [0,0]]return resultif u0 > u1:result = [[0,0], [0,0]]return resultif u0 > 0:res_x0 = int(x0 + u0*(x1-x0) + 0.5)res_y0 = int(y0 + u0*(y1-y0) + 0.5)if u1 < 1:res_x1 = int(x0 + u1*(x1-x0) + 0.5)res_y1 = int(y0 + u1*(y1-y0) + 0.5)result = [[res_x0, res_y0], [res_x1, res_y1]]return result