算法效率的度量--时间复杂度与空间复杂度

算法效率的度量通过时间复杂度和空间复杂度来衡量。

一般考察时间复杂度的内容偏多，空间复杂度了解就行。

1.时间复杂度

语句的频度是指一个语句在算法中被重复执行的次数。

时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；

时间复杂度主要是找到各个语句执行的次数，再找到相同的数量级。

T(n)=所有语句的频度之和，它是算法问题规模的n的函数，时间复杂度主要分析T(n)的数量级。

算法中基本运算[最深层次循环的语句]的频度与T(n)同数量级。

时间复杂度一般分为以下三种：

最坏时间复杂度：顾名思义，在最坏情况下的算法时间复杂度
平均时间复杂度：指所有可能输入在等概率的情况下，算法期望运行的时间
最好时间复杂度：指在最好情况下，算法的时间复杂度

一般总是考虑在最坏情况下的时间复杂度，目的是保证算法的运行时间不会比它更长。

注：下面两条规则非常重要

1）加法规则

T(n)=T1(n)+T2(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))

2）乘法规则

T(n)=T1(n)xT2(n)=O(f(n))xO(g(n))=O(f(n)xg(n))

常见的时间复杂度比较：

O(1)<O(lg n)<O(n)<O(nlg n)<O(n²)<O(n³)<O(2的n次方)<O(n!)<O(n的n次方)

下面我举几个栗子说明一下：

count=0;
for(k=1;k<=n;k*=2)for(j=1;j<=n;j++)count++;

内层循环j<=n与外层循环的变量无关，各自独立，没执行一次j自增1，每次内层循环都执行n次。外层循环条件看k<=n，增量的定义式k*=2，可知循环次数t满足k=2的i次<=n，即t<=lg n。

所以内层循环的时间复杂度为O(n)，外层时间复杂度为O(lg n)。

对于嵌套循坏，由乘法规则可知，该程序的时间复杂度为T(n)=T1(n)xT2(n)=O(n)xO(lg n)=O(nlg n)。

int fact(int n){if(n<=1) return 1;elsereturn n*fact(n-1);
}

这道题实际上是求n!的递归代码，每次递归调用fact()的参数-1，递归出口为fact(1)，一共执行n次递归调用fact(),T(n)=O(n)。

int m=0,i,j;
for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=2*i;j++)m++;

这个题求m++这一步的时间复杂度。

显然，跟上面第一个例子是一样的乘法规则，由于是嵌套语句，所以时间复杂度T(n)=T1(n)xT2(n)=O(n)xO(2(n+1))=O(n(n+1))。

这种算完，可以忽略掉系数和次要的项，即T(n)=O(n²)。

x=0;
while(n>=(x+1)*(x+1))
x=x+1;

先假设第k次循环终止，则第k次执行时，(x+1)²>n,x的初始值为0，第k次判断时，x=k-1，即k²>n,k>根号n，所以时间复杂度=O(根号n)。

2.空间复杂度

空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

1.递归算法的空间复杂度=递归深度N*每次递归所要的辅助空间

2.对于单线程来说，递归有运行时堆栈，求的是递归最深的那一次压栈所耗费的空间的个数。

算法原地工作是指算法所需的辅助空间为常数，即O(1)。

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