python演示，用经验分布逼近总体精确分布

经验分布定义为 $F_n(x)=\frac{1}{n}S(x)$ ,

$S(x)$ 表示样本值，不大于任意实数x的样本个数，n表示样本总量。

根据格力文科定理，对于任意的实数x，当样本量足够大的时候，统计量 $F_n(x)$ 与总体分布 $F(x)$ 的函数值之间只有很小的差距，在实际上可以当做总体分布来使用。

设是来自以为分布函数的总体的样本，是经验分布函数，则有

对于固定的x,经验分布的数学期望是总体分布。

现在假设有200个球，分别标上了数字-100到+100 ，没有标零；现在，再取特定的x=0，每一次从200个球中抽取一个球，相应的数字要么小于零，要么大于零，数字小于零的概率是0.5，大于0的概率也是0.5。

大于零用0表示，小于零用1表示，这件事随机的，用X表示该随机变量，那么，X是一个服从两点分布的随机变量；这里为了保证是来自同一总体，必须是放回抽样。那么现在重复做20次这样的实验，就成了20重伯努利试验，因此在20次试验中，抽到小于零的球的个数 $Y=X_1+X_2+...+X_n=S(0)$ 是随机变量，服从n=20,p=0.5的二项分布。于是

$E(F_{20}(0))=E(\frac{s(0)}{20})=\frac{1}{20}E[S(0)]=\frac{ 0.5*20}{20 }=0.5$

对于特定的x，任意一次抽样所得样本X1 要么比x大，要么比x小，比x小的概率为F（x），即是小或大这件事服从0，1分布 $B(1,F(x))$ ；现在抽样n次，得到n个样本，因此小于x的个数s（x）服从二项分布 $B(n,F(x))$ ;于是 $E(F_n(x))=E(\frac {s(x)}{n})=F(x)$

import numpy as np
import time
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.mlab as mlab
from scipy.stats import norm
def caculate(len):#产生正态随机样本len = len #样本数量mu = 5sigma = 3np.random.seed(int(time.time()))s =lambda: np.random.normal(mu, sigma, len )samples=s()# 计算经验分布smax,smin=samples.max(),samples.min()listx=np.arange(smin,smax+0.1,0.05)count=lambda x:((samples<=x)*1).sum()fa=[count(i) for i in listx]faofn=np.array(fa)/len# 计算精确分布q=[norm.cdf((i-mu)/sigma) for i in listx]# 在同一幅图中展示图像return listx,faofn,q
if __name__ == '__main__':num=400listx,faofn,q=caculate(num)plt.subplot(221)# 经验分布plt.plot(listx,faofn)plt.plot(listx,q)plt.title('num of Samples:'+str(num))# 精确分布plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(faofn)/np.diff(listx))plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(q)/np.diff(listx))num=800listx,faofn,q=caculate(num)plt.subplot(222)plt.plot(listx,faofn)plt.plot(listx,q)plt.title('num of Samples:'+str(num))plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(faofn)/np.diff(listx))plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(q)/np.diff(listx))num=1800listx,faofn,q=caculate(num)plt.subplot(223)plt.plot(listx,faofn)plt.plot(listx,q)plt.title('num of Samples:'+str(num))plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(faofn)/np.diff(listx))plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(q)/np.diff(listx))num=10000listx,faofn,q=caculate(num)plt.subplot(224)plt.plot(listx,faofn)plt.plot(listx,q)plt.title('num of Samples:'+str(num))plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(faofn)/np.diff(listx))plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(q)/np.diff(listx))plt.show()

从上图的精确分布和经验分布可以看出，当样本量比较小的时候，经验和总体分布的拟合较差！随着样本量的上升，经验分布和精确分布几乎重合，这就验证了当样本量足够大时，经验分布和总体分布几乎相同。

从上图的经验概率密度和精确概率密度曲线我们可以看出，经验分布密度在一个特定点处函数值在精确分布分布密度曲线上下波动，有时候处于上方有时候处于下方，具有随机性，但总的趋势和精确分布是相吻合。到底是位于上方还位于下方，这个服从两点分布，两点分布的p参数能算出来吗？请在评论区留言

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