少模光纤模式场的计算
光纤LP模式图仿真
为了后续工作方便，将欧攀老师的《高等光学仿真MATLAB版》上关于光纤模场分布计算的Matlab代码用python重写，并补入了一些自己的工作。
模式原理
弱导光纤线偏振模式的理论，具体参考光纤有关的工具书。
归一化频率V与模式U、W参数的关系：
V2=U2+W2V^2=U^2+W^2 V2=U2+W2
LP0m(l=0)\left(l=0\right)(l=0)的特征方程如下：
UJ1(U)J0(U)=WK1(W)K0(W)\ \frac{UJ_1\left(U\right)}{J_0\left(U\right)}=\frac{WK_1\left(W\right)}{K_0\left(W\right)}\, J0(U)UJ1(U)=K0(W)WK1(W)
LP1m(l=1)\left(l=1\right)(l=1)的特征方程如下：
UJ0(U)J1(U)=−WK0(W)K1(W)\ \frac{UJ_0\left(U\right)}{J_1\left(U\right)}=-\frac{WK_0\left(W\right)}{K_1\left(W\right)}\, J1(U)UJ0(U)=−K1(W)WK0(W)
LPLm(l≥2)\left(l\geq2\right)(l≥2)的特征方程如下：
UJl−1(U)Jl(U)=−WKl−1(W)Kl(W)\ \frac{UJ_{l-1}\left(U\right)}{J_l\left(U\right)}=-\frac{WK_{l-1}\left(W\right)}{K_l\left(W \right)}\, Jl(U)UJl−1(U)=−Kl(W)WKl−1(W)
为了方便解析，定义X为：
[UW]=[X[0]X[1]]\begin{bmatrix}U\\W\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}X\left[0\right]\\X\left[1\right]\end{bmatrix}[UW]=[X[0]X[1]]
Python代码如下
这里选择芯径为25μm\mu mμm，NA为0.08，工作波长工作在1064nm1064nm1064nm的阶跃折射率光纤进行数值模拟。初步计算，该少模光纤的归一化频率大约为5.91，可支持10种模式，依次为LP01， LP11e，LP11o，LP21e，LP21o， LP02， LP31e，LP31o以及LP12e，LP12o。
首先，利用scipy中最小二乘法函数leastsq求解各个模式的U、W值，因为没找到其他更好方式计算了。如果您有更好方法希望能交流，谢谢。
# 导包
import math
import numpy as np
from scipy import special
from scipy.optimize import leastsq
%matplotlib inline
# 光纤参数
Lamda = 1.064e-6 # 波长 1064nm
NA = 0.08 #数值孔径
a_core = 25e-6 / 2 #纤芯半径 25um
# 计算归一化频率
V = 2 * np.pi * a_core / Lamda * NA
print('归一化频率：%.4f'%V) # 归一化频率：5.9052# 计算LP_0m
def fun_0m(X):global Vreturn[V**2-X[0]**2-X[1]**2,(X[0]*special.jv(1, X[0]))/special.jv(0, X[0]) - (X[1]*special.kv(1, X[1]))/special.kv(0, X[1]) ]
# 计算LP_1m
def fun_1m(X):global Vreturn[V**2-X[0]**2-X[1]**2,(X[0]*special.jv(0, X[0]))/special.jv(1, X[0]) + (X[1]*special.kv(0, X[1]))/special.kv(1, X[1]) ]
# 计算LP_2m及以上
def fun_Lm(X):global L # L>=2, L代表阶数global V return[V**2-X[0]**2-X[1]**2,(X[0]*special.jv(L-1, X[0]))/special.jv(L, X[0]) + (X[1]*special.kv(L-1, X[1]))/special.kv(L, X[1]) ]
计算LP_0m
# 计算LP_0m
LP_0m = []
for i in range(1,math.ceil(V)):#print(i)sol = leastsq(fun_0m,[i,i])tt = sol[0].round(4).tolist()#print(sol[0])if tt not in LP_0m:LP_0m.append(tt)
print("LP_0m存在两个解，分别对应LP_01和LP_02模")
print(LP_0m) # [[2.05, 5.538], [4.6202, 3.6778]]
U_01 = LP_0m[0][0]
W_01 = LP_0m[0][1]
U_02 = LP_0m[1][0]
W_02 = LP_0m[1][1]
计算LP_1m
# 计算LP_1m
LP_1m = []
for i in range(1,math.ceil(V)):#print(i)sol = leastsq(fun_1m,[i,i])tt = sol[0].round(4).tolist()#print(sol[0])if tt not in LP_1m:LP_1m.append(tt)
print("LP_1m存在两个解，分别对应LP_11和LP_12模")
print(LP_1m) # [[3.2507, 4.93], [5.7146, 1.4885]]
U_11 = LP_1m[0][0]
W_11 = LP_1m[0][1]
U_12 = LP_1m[1][0]
W_12 = LP_1m[1][1]
计算LP_2m
# 计算LP_2m
L = 2
LP_2m = []
for i in range(1,math.ceil(V)):#print(i)sol = leastsq(fun_Lm,[i,i])#print(sol)tt = sol[0].round(4).tolist()if tt not in LP_2m:LP_2m.append(tt)
print("LP_2m存在一个解，对应LP_21模")
print(LP_2m) # [[4.3295, 4.0159]]
U_21 = LP_2m[0][0]
W_21 = LP_2m[0][1]
计算LP_3m
# 计算LP_3m
L = 3
LP_3m = []
for i in range(1,math.ceil(V)):#print(i)sol = leastsq(fun_Lm,[i,i])#print(sol)tt = sol[0].round(4).tolist()if tt not in LP_3m:LP_3m.append(tt)
print("LP_3m存在一个解，对应LP_31模")
print(LP_3m) # [[5.3311, 2.54]]
U_31 = LP_3m[0][0]
W_31 = LP_3m[0][1]
计算各个模式场
这里计算光纤的纤芯及部分包层的场分布，设定网格尺寸为128*128，可以根据图像分辨率调整。分辨率越高，计算越耗时。
# 网格设定为128*128并计算各个模式电场
Npoint = 128
Rcore = 1 # 归一化纤芯直径为1
Rclad = 1.2 # 取部分包层
def LP(V, U, W, L, even=True):# 网格设定及计算global Npointglobal Rcoreglobal RcladX = np.linspace(-Rclad, Rclad, Npoint)Y = XTheta = np.zeros([Npoint, Npoint])X, Y = np.meshgrid(X, Y)R = np.sqrt(X**2 + Y**2)for i in range(Npoint):for j in range(Npoint):Theta[i, j] = np.arctan2(Y[i, j], (X[i, j] + np.spacing(1)))E1 = np.zeros((Npoint, Npoint))E2 = E1.copy()I1 = E1.copy()I2 = E1.copy()# 光场分布if L == 0: # 阶数为0时不区分奇偶模# 纤芯中光场分布E1 = special.jv(L,U*R)# 包层中的光场分布E2 = special.jv(L,U)*special.kv(L,W*R)/special.kv(L,W)elif even==True: #偶模# 纤芯中光场分布E1 = special.jv(L,U*R)*np.cos(L * Theta)# 包层中的光场分布E2 = special.jv(L,U)*special.kv(L,W*R)/special.kv(L,W)*np.cos(L*Theta)else: # 奇模# 纤芯中光场分布E1 = special.jv(L,U*R)*np.sin(L * Theta)# 包层中的光场分布E2 = special.jv(L,U)*special.kv(L,W*R)/special.kv(L,W)*np.sin(L*Theta)# 合并E1中单位圆内电场与E2单位圆外电场E = E1.copy()I = E1.copy()# 电场分布E[R>=1]= E2[R>=1]# 光强分布I = E**2# 归一化处理E = E/E.max()I = I/I.max()return X, Y, E, I
# 得到模式电场和光强
l_1 = 1 # 模式场阶数
X, Y, E_11e, I_11e = LP(V, U_11, W_11, l_1, even=True)
X, Y, E_11o, I_11o = LP(V, U_11, W_11, l_1, even=False)
X, Y, E_12e, I_12e = LP(V, U_12, W_12, l_1)
l_2 = 2
X, Y, E_21e, I_21e = LP(V, U_21, W_21, l_2)
X, Y, E_21o, I_21o = LP(V, U_21, W_21, l_2, even=False)
l_3 = 3
X, Y, E_31e, I_31e = LP(V, U_31, W_31, l_3)
l_0 = 0
X, Y, E_01, I_01 = LP(V, U_01, W_01, l_0)
X, Y, E_02, I_02 = LP(V, U_02, W_02, l_0)
关于下标符号显示问题解决思路参考如下：
1、Python Matplotlib中坐标轴标题中各种特殊符号的显示
2、解决plt.title()下角标及空格显示问题
import matplotlib.pyplot as plt
cm=plt.cm.get_cmap('Spectral_r')
fig,axes = plt.subplots(ncols=2, nrows=3, figsize=(9,12))im1 = axes[0][0].pcolormesh(X, Y, I_01, cmap=cm)
axes[0][0].set_title("$LP_{01}$")im2 = axes[0][1].pcolormesh(X, Y, I_02, cmap=cm)
axes[0][1].set_title('$LP_{02}$')im3 = axes[1, 0].pcolormesh(X, Y, I_11e, cmap=cm)
axes[1, 0].set_title('$LP_{11}$')im4 = axes[1][1].pcolormesh(X, Y, I_12e, cmap=cm)
axes[1][1].set_title('$LP_{12}$')im5 = axes[2][0].pcolormesh(X, Y, I_21e, cmap=cm)
axes[2][0].set_title('$LP_{21}$')im6 = axes[2][1].pcolormesh(X, Y, I_31e, cmap=cm)
axes[2][1].set_title('$LP_{31}$')fig.colorbar(im1, ax=axes[0, 0])
fig.colorbar(im2, ax=axes[0, 1])
fig.colorbar(im3, ax=axes[1, 0])
fig.colorbar(im4, ax=axes[1, 1])
fig.colorbar(im5, ax=axes[2, 0])
fig.colorbar(im6, ax=axes[2, 1])
待续
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