概论第6章_正态总体的抽样分布_卡方分布_F分布_t分布

2024-05-17 02:43:00

一卡方分布

定义

设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1, X_2,..., X_n X1,X2,...,Xn 独立同分布于标准正态分布N(0, 1), 则 χ 2 = X 1 2 + . . . + X n 2 \chi^2=X_1^2 + ... + X_n^2 χ2=X12+...+Xn2的分布称为自由度为 n 的 χ 2 \chi^2 χ2分布，记为 χ 2 \chi^2 χ2 ~ χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)

χ 2 \chi^2 χ2 分布又称为卡方分布。
卡方分布的期望 E( χ 2 \chi^2 χ2) = n, 方差D( χ 2 \chi^2 χ2) = 2n.

就是说来自于独立的标准正态分布的随机变量的平方和叫做卡方分布。

二 F分布

定义

设 X 1 X_1 X1 ~ χ 2 \chi^2 χ2(m), X 2 X_2 X2 ~ χ 2 \chi^2 χ2(n), X 1 X_1 X1 与 X 2 X_2 X2独立，则称
F = X 1 m X 2 n F =\frac{\frac{X_1}{m}}{\frac{X_2}{n}} F=nX2mX1 的分布是自由度为m与n 的F分布，记为F ~ F(m, n). 其中m称为分子自由度， n称为分母自由度。容易得出： 1 F \frac{1}{F} F1 ~ F ( n , m ) F(n, m) F(n,m)

从定义可以看到， F分布是在卡方分布的基础上 ，就是说，两个变量都是卡方分布的分布，叫F分布。

三 t分布

定义

设 X 1 X_1 X1与 X 2 X_2 X2独立，且 X 1 X_1 X1~N(0, 1), X 2 X_2 X2~ χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n), 则称 t = X 1 X 2 n t = \frac{X_1}{\sqrt{\frac{X_2}{n}}} t=nX2 X1 的分布为自由度为n的 t 分布, 记为 t ~ t(n)
t分布又称学生氏分布，就是说，两个变量一个标准正态，另一个卡方分布，叫t分布。

在t分布中，对任意常数c, 有P{X>c} = P{X<-c}
注意：如果 Y~F(1, n ) 时， Y = X 2 X^2 X2. 这就是F分布与 t分布的关系。

四三大抽样分布

三大抽样分布

五光说不练假把式，看例题

题1
设总体 X~N(0, σ 2 \sigma^2 σ2), X 1 , X 2 , X_1, X_2, X1,X2, … X n X_n Xn 为来自X的样本， x ‾ \overline x x 为样本均值， s 2 s^2 s2为样本方差，则 x ‾ x / n \frac{\overline x}{x/{\sqrt{n}}} x/n x ~ __________.

解: 因为X服从正态分布，所以

x ‾ − μ s / n = x ‾ s / n \frac{\overline x - \mu}{s/\sqrt{n}} = \frac{\overline x}{s/\sqrt{n}} s/n x−μ=s/n x ~ t ( n − 1 ) t(n-1) t(n−1)

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