树具有的特点有：

(1)每个结点有零个或多个子结点

(2)没有父节点的结点称为根节点

(3)每一个非根结点有且只有一个父节点

(4)除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。

树的基本术语有：

若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的“双亲”，子树的根称为该结点的“孩子”。有相同双亲的结点互为“兄弟”。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

结点的度：结点拥有的子树的数目

叶子结点：度为0的结点

分支结点：度不为0的结点

树的度：树中结点的最大的度

层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1

树的高度：树中结点的最大层次

森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

二叉树的性质

a、在非空二叉树的第i层上，至多有2^(i-1)个结点

假设这是一棵满二叉树，则1、2、3层分别有1、2、4个结点，满足以上性质

b、深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点

假设这是一棵满二叉树，则4层有15个结点，满足以上的性质

c、对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2，则n0 = n2+1

假设二叉树中度为1的结点数为n1，因为二叉树只有度为1，2，0的结点，所以有n=n0+n1+n2。再看二叉树分支条数e，因为二叉树除了根结点没有父结点，进入它的边数为0之外，其他每一结点都有一个且仅有一个父结点，进入它们的边数均为1，故二叉树中总的边数为e=n-1=n0+n1+n2-1。又由于每个度为2的结点发出2条边，每个度为1的结点发出1条边，每个度为0的结点发出0条边，因此总的边数e=2n2+1n1+0n0=2n2+n1,由以上两式可以得出n0= n2+1

上图中结点总数是10，n2(1、2、3、4)为4，n1(5)为1，n0(6、7、8、9、10)为5

d、具有n个结点的完全二叉树深度为⌈log2(n+1)⌉，对以2为底n+1对数进行向上取整(⌈⌉是向上取整符号)

可以由性质2得出，深度为k的完全二叉树最多有 n \leq 2{k}-1个结点，最少有2{k-1}-1个，因此：

2^{k-1}-1 < n \leq 2^{k}-1

2^{k-1} < n+1 \leq 2^{k}

k-1 < log_{2}(n+1) \leq k

因为log_{2}(n+1)介于 K-1 和 K之间且不等于 K-1，深度又只能是整数，所以有⌈log_{2}(n+1)⌉

e、如果有一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层次序编号，对任一层的结点i(1<=i<=n)有

如果i=1，则结点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲结点为⌊i/2⌋，向下取整

如果2i>n那么结点i没有左孩子，否则其左孩子为2i

如果2i+1>n那么结点没有右孩子，否则右孩子为2i+1

若结点i为奇数，且i!=1，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟结点i-1

若结点i为偶数，且i!=n，它处于左兄弟位置，则它的右兄弟为结点i+1

递归实现二叉树的遍历

前序遍历

基本思想：若二叉树为空，则返回。否则从根结点开始，优先访问根结点，再前序遍历左子树，前序遍历右子树，即根——左——右

class TreeNode{

int data;

TreeNode leftChild;

TreeNode rightChild;

}

/**

* 前序遍历(中左右)

* output:A、B、D、G、H、C、E、I、F

* @param root

*/

public void preOrder(TreeNode root) {

if (root == null) {

return;

} else {

System.out.println("preOrder data:" + root.getData());

preOrder(root.leftChild);

preOrder(root.rightChild);

}

}

中序遍历

基本思想：若二叉树为空，则返回。否则优先中序遍历左子树，再访问根结点，再后序遍历右子树，即左——根——右

/**

* 中序遍历(左中右)

* output:G、D、H、B、A、E、I、C、F

* @param root

*/

public void midOrder(TreeNode root) {

if (root == null) {

return;

} else {

midOrder(root.leftChild);

System.out.println("midOrder data:" + root.getData());

midOrder(root.rightChild);

}

}

后序遍历

基本思想：若二叉树为空，则返回。否则优先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，最后访问根结点，，即左——右——根

/**

* 后序遍历(左右中)

* output:G、H、D、B、I、E、F、C、A

* @param root

*/

public void postOrder(TreeNode root){

if (root == null) {

return;

} else {

postOrder(root.leftChild);

postOrder(root.rightChild);

System.out.println("postOrder data:" + root.getData());

}

}

满二叉树、完全二叉树和二叉查找树、 2-3查找树

1、满二叉树

定义：高度为h，并且由2h-1个结点组成的二叉树，称为满二叉树

2、完全二叉树

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下层的叶结点集中在靠左的若干位置上，这样的二叉树称为完全二叉树。

特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

3、二叉查找树

定义：二叉查找树又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x结点包含关键字key，结点x的key值计为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]<=key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y]>=key[x]

在二叉查找树种：

(1)若任意结点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。

(2)任意结点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

(3)任意结点的左、右子树也分别为二叉查找树。

(4)没有键值相等的结点。

对于2节点，该节点保存一个key及对应value，以及两个指向左右节点的节点，左节点也是一个2-3节点，左节点所有的值都比该节点的key要小，右节点也是一个2-3节点，所有的值比该节点的key要大。

对于3节点，该节点保存两个key及对应value，以及三个指向左中右的节点。左节点也是一个2-3节点，所有的值均比两个key中的最小的key还要小；中间节点也是一个2-3节点，中间节点的key值在两个跟节点key值之间；右节点也是一个2-3节点，节点的所有key值比两个key中的最大的key还要大。

平衡二叉树 、 红黑树、替罪羊树、Treap、伸展树

平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，在按顺序向插入二叉搜索树中插入值，最后会形成一个类似链表形式的树，而我们设计二叉搜索树的初衷，显然是看中了它的查找速度与它的高度成正比，如果每一颗二叉树都像链表一样，那就没什么意思了，所以就设计出来了平衡二叉树，相对于二叉搜索树，平衡二叉树的一个特点就是，在该树中，任意一个节点，它的左右子树的差的绝对值一定小于2。

1.本身首先是一棵二叉搜索树。

2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值(平衡因子)最多为1。

也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树(二叉排序树，二叉搜索树)。

AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。

如果在AVL树中插入或删除节点后，使得高度之差大于1。此时，AVL树的平衡状态就被破坏，它就不再是一棵平衡二叉树；为了让它重新维持在一个平衡状态，就需要对其进行旋转处理

平衡二叉树的旋转

左-左型：做右旋

右-右型：做左旋

左-右型：先做左旋，后做右旋

右-左型：先做右旋，后做左旋

这里假设结点X是失衡点，它必须重新恢复平衡，由于任意结点的孩子结点最多有两个，而且导致失衡的必要条件是X结点的两棵子树高度差为2(大于1)，因此一般只有以下4种情况可能导致X点失去平衡：

① 在结点X的左孩子结点的左子树中插入元素

② 在结点X的左孩子结点的右子树中插入元素

③ 在结点X的右孩子结点的左子树中插入元素

④ 在结点X的右孩子结点的右子树中插入元素

以上4种情况，其中第①情况和第④情况是对称的，可以通过单旋转来解决，而第②种情况和第③情况是对称的，需要双旋转来解决。

左左单旋转(LL)需要右旋转

右右单旋转(RR)进行左旋转

红黑树

https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/RedBlack.html

平衡树(AVL)是为了解决 二叉查找树(BST)退化为链表的情况。

红黑树(RBT)是为了解决 平衡树 在删除等操作需要频繁调整的情况。

红黑树5个特征

红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色或红色或黑色。在二叉查找树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:

节点是红色或黑色。

根节点是黑色。

每个叶节点(NIL节点，空节点)是黑色的。

每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

红黑树是一种具有红色和黑色链接的平衡查找树，同时满足：

红色节点向左倾斜

一个节点不可能有两个红色链接

整个树完全黑色平衡，即从根节点到所以叶子结点的路径上，黑色链接的个数都相同。

如果我们将红色的连线水平绘制，那么他链接的两个2-node节点就是2-3树中的一个3-node节点了。

红黑树的应用比较广泛，主要是用它来存储有序的数据，它的时间复杂度是O(logn)，效率非常之高。

例如，Java集合中的TreeSet和TreeMap，C++ STL中的set、map，以及Linux虚拟内存的管理，都是通过红黑树去实现的。

平衡二叉树红黑树两者的区别

1、红黑树并不追求“完全平衡”——它只要求部分地达到平衡要求，降低了对旋转的要求，从而提高了性能。红黑树能够以O(log2 n) 的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外，由于它的设计，任何不平衡都会在三次旋转之内解决。当然，还有一些更好的，但实现起来更复杂的数据结构 能够做到一步旋转之内达到平衡，但红黑树能够给我们一个比较“便宜”的解决方案。红黑树的算法时间复杂度和AVL相同，但统计性能比AVL树更高。当然，红黑树并不适应所有应用树的领域。如果数据基本上是静态的，那么让他们待在他们能够插入，并且不影响平衡的地方会具有更好的性能。如果数据完全是静态的，例如，做一个哈希表，性能可能会更好一些。在实际的系统中，例如，需要使用动态规则的防火墙系统，使用红黑树而不是散列表被实践证明具有更好的伸缩性，典型的用途是实现关联数组。

2、AVL树是最先发明的自平衡二叉查 找树。在AVL树中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

B树、B_树、B+树

B树(B-tree)是一种树状数据结构，它能够存储数据、对其进行排序并允许以O(log n)的时间复杂度运行进行查找、顺序读取、插入和删除的数据结构。B树，概括来说是一个节点可以拥有多于2个子节点的二叉查找树。与自平衡二叉查找树不同，B-树为系统最优化大块数据的读和写操作。B-tree算法减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。普遍运用在数据库和文件系统。”

定义

B 树可以看作是对2-3查找树的一种扩展，即他允许每个节点有M-1个子节点。

根节点至少有两个子节点

每个节点有M-1个key，并且以升序排列

位于M-1和M key的子节点的值位于M-1 和M key对应的Value之间

其它节点至少有M/2个子节点

B+树

B+树是对B树的一种变形树，它与B树的差异在于：

有k个子结点的结点必然有k个关键码；

非叶结点仅具有索引作用，跟记录有关的信息均存放在叶结点中。

树的所有叶结点构成一个有序链表，可以按照关键码排序的次序遍历全部记录。