【题目】

传送门

题目描述：

Tom 最喜欢的歌曲就是《葫芦娃》。

一日表演唱歌，他尽了洪荒之力，唱响心中圣歌。

随之，Tom 进入了葫芦世界。

葫芦世界有 nnn 个葫芦，标号为 111 ~ nnn。nnn 个葫芦由 mmm 条藤连接，每条藤连接了两个葫芦，这些藤构成了一张有向无环图。Tom 爬过每条藤都会消耗一定的能量。

Tom 站在 111 号葫芦上（你可以认为葫芦非常大，可以承受 Tom 的体重），他想沿着藤爬到 nnn 号葫芦上，其中每个葫芦只经过一次。

Tom 找到一条路径，使得消耗的能量与经过的葫芦数的比值最小。

输入格式：

输入文件第一行两个正整数 n,mn,mn,m，分别表示葫芦的个数和藤数。

接下来 mmm 行，每行三个正整数 u,v,wu,v,wu,v,w，描述一条藤，表示这条藤由 uuu 连向 vvv，Tom 爬过这条藤需要消耗 www 点能量。

输出格式：

一行一个实数，表示答案（误差不超过 10−310^{-3}10−3）。

样例数据：

输入
4 6
1 2 1
2 4 6
1 3 2
3 4 4
2 3 3
1 4 8

输出
2.000

提示：

有 4 种爬法：
1 −>41\;->41−>4，消耗能量 888，经过 222 个葫芦，比值为 8/2=48/2=48/2=4。
1 −>2 −>41\;->2\;->41−>2−>4，消耗能量 1+6=71+6=71+6=7，经过 333 个葫芦，比值为 7/3≈2.337/3≈2.337/3≈2.33。
1 −>3 −>41\;->3\;->41−>3−>4，消耗能量 2+4=62+4=62+4=6，经过 333 个葫芦，比值为 6/3=26/3=26/3=2。
1 −>2 −>3 −>41\;->2\;->3\;->41−>2−>3−>4，消耗能量 1+3+4=81+3+4=81+3+4=8，经过 444 个葫芦，比值为 8/4=28/4=28/4=2。

所以选第三种或第四种方案，答案为 222。

测试点编号	nnn	mmm	特殊说明
111	222	111
222	100100100	999999	除 111 外，所有葫芦的入度均为 111
333	100100100	105105105	所有从 111 到 nnn 的路径经过的葫芦数相等
444	100100100	100010001000
555	100100100	100010001000
666	199199199	198198198	除 111 外，所有葫芦的入度均为 111
777	200200200	231231231	所有从 111 到 nnn 的路径经过的葫芦数相等
888	200200200	200020002000
999	200200200	200020002000
101010	200200200	200020002000

对于所有数据，Tom 爬过每条藤消耗的能量不会超过 10310^3103，且一定存在一条从 111 到 nnn 的路径。

【分析】

50 pts：

直接暴力 dfsdfsdfs 一遍即可

100 pts：

新建一个起点 000，连接一条 000 到 111 长度为 000 的边，这样做的好处是直接将问题转化为长度和边数（就不是点数了）的最小比值，更为方便

假设有一个数 ansansans，对于任意一条由 kkk 条边组成的路径，若 ansansans 合法，必然有：
(w1+w2+w3+…+wk)/k>=ans(w_1+w_2+w_3+…+w_k)/k>=ans(w1+w2+w3+…+wk)/k>=ans移一下项，得：
(w1+w2+w3+…+wk)>=ans∗k(w_1+w_2+w_3+…+w_k) >=ans*k(w1+w2+w3+…+wk)>=ans∗k再转换一下，即
(w1−ans)+(w2−ans)+(w3−ans)+…+(wk−ans)>=0(w_1-ans)+(w_2-ans)+(w_3-ans)+…+(w_k-ans)>=0(w1−ans)+(w2−ans)+(w3−ans)+…+(wk−ans)>=0
很显然我们可以二分答案，每次将所有边权减去 midmidmid 后求最短路，然后判断 dnd_ndn 是否大于等于 000，若是，说明 ans>=midans>=midans>=mid，需要把 midmidmid 调大，不然就说明 ans<midans<midans<mid，要把 midmidmid 调小

01分数规划简单题，但由于掌握不熟没有拿满分。。。

【代码】

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 205
#define M 2005
#define eps 1e-8
using namespace std;
int n,m,t;
int first[N];
int v[M],w[M],next[M];
bool vis[N];
double ww[M],dis[N];
void add(int x,int y,int z)
{t++;next[t]=first[x];first[x]=t;v[t]=y;w[t]=z;
}
bool check(double mid)
{int x,y,i,j;for(i=1;i<=t;++i)  ww[i]=w[i]-mid;memset(dis,127,sizeof(dis));memset(vis,false,sizeof(vis));queue<int>q;dis[0]=0;q.push(0);while(!q.empty()){x=q.front();q.pop();vis[x]=false;for(i=first[x];i;i=next[i]){y=v[i];if(dis[y]>dis[x]+ww[i]){dis[y]=dis[x]+ww[i];if(!vis[y]){vis[y]=true;q.push(y);}}}}return dis[n]>=0;
}
int main()
{//  freopen("calabash.in","r",stdin);
//  freopen("calabash.out","w",stdout);int x,y,z,i;scanf("%d%d",&n,&m);add(0,1,0);for(i=1;i<=m;++i){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);add(x,y,z);}double l=0,r=1e6,mid;while(r-l>eps){mid=(l+r)/2;if(check(mid))  l=mid;else  r=mid;}printf("%.3lf",l);
//  fclose(stdin);
//  fclose(stdout);return 0;
}

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