DFS史诗级入门教程

DFS
- 1.全排列（入门引导）
- - 1.1排列方法
  - 1.2程序理解
  - 1.3基本模型
- 2. 拓展（全排列）
- - 2.1思路
  - 2.2源码
- 3.迷宫问题
- - 3.1思路
  - 3.2完整源码
- 4.题目实践

DFS

最近一直都在写蓝桥杯的题目，其中有许多题目涉及到了搜索（DFS，BFS）等，由于递归过于抽象，所以没能很好的掌握。于是便写下了这篇入门教程来加深对DFS的认识，并且充分理解递归。
所谓DFS就是指：优先考虑深度，换句话说就是一条路走到黑，直到无路可走的情况下，才会选择回头，然后重新选择一条路。

1.全排列（入门引导）

引导题：输入一个数n，输出n的全排列
可以先把这个问题形象化
如：

假如有编号为1,2,3的3张扑克牌和编号为1,2,3的3个盒子。将这3张扑克牌分别放入3个盒子一共有几种不同的放法呢？

1.1排列方法

约定：

每次到一个盒子面前时，都先放1号，2号，最后放3号

1.第一种：

首先呢，小明手中有3张扑克牌，先到第1个盒子，将1号扑克牌放在第1个盒子。

放好后，小明继续向前走一步，来到了2号盒子，按照之前的约定放2号扑克牌。

放好后，小明又继续向前一步，把3号扑克牌放入3号盒子。此时就已经完成了一种排列。

完成第一种后,还没有结束！小明便要回头了，开始重新选择（DFS的思想），这里要注意的，不是把所有的牌都取出来重新放，这样就不符合DFS的思想了。

2.第2种
好的！按照上面的逻辑。小明将3号盒子的3号扑克牌取出，但手上仍然只有3号扑克牌。
所以小明只好回到2号盒子，收回2号扑克牌，此时手中有2,3号扑克牌。
按照之前的约定，往2号盒子放3号扑克牌，然后小明又继续往前走，此时手里只有2号扑克牌，把2号扑克牌放入3号盒子里，此时完成了第二种排序。*
按照这种逻辑，我们不难求出所有排列“123”，“132”，“213”，“231”，“312”，“321”

1.2程序理解

说了这么多，应该对DFS有了大概的了解吧。下面用程序来加深大家对DFS的认识。
可能大家会有疑惑，怎么才能往小盒子里放扑克牌呢？
其实很简单，只需要一个for循环就行了。

for(int i=1;i<=n;i++)a[step]=i;//将i号扑克牌放到第step个盒子中

这里的数组a是用来表示盒子的，变量step表示当前处于第step个盒子面前。
这里还有一个问题：如果一张扑克牌已经放入别的盒子里了，该怎么样才能使这张扑克牌不放到当前的盒子里。
其实很简单，只需要再重新创建一个数组book用来标记，看扑克牌是否被使用。

for(int i=1;i<=n;i++){if(book[i]==0){   //说明i号扑克牌还在手里，需要放入step号盒子a[step]=i;//将i号扑克牌放到第step个盒子中book[i]=1;//此时i号扑克牌已经被使用}}

那么接下来如何表示step+1呢？难道要一个函数一个函数这样写吗？其实不需要这么麻烦。
只需要把处理第step的代码封装成一个函数就可以了。

void  dfs(int step){ //此时在第step盒子面前，需要往里面放第i张扑克牌for(int i=1;i<=n;i++){if(book[i]==0){   //说明i号扑克牌还在手里，需要放入step号盒子a[step]=i;//将i号扑克牌放到第step个盒子中book[i]=1;//此时i号扑克牌已经被使用}}
}

接下就是处理第step+1的具体代码了

void  dfs(int step){ //此时在第step盒子面前，需要往里面放第i张扑克牌for(int i=1;i<=n;i++){if(book[i]==0){   //说明i号扑克牌还在手里，需要放入step号盒子a[step]=i;//将i号扑克牌放到第step个盒子中book[i]=1;//此时i号扑克牌已经被使用dfs(step+1);/*注意这里是自己调用自己，表示此时走到了第step+1个盒子面前*/      book[i]=0;/*book[i]=0表示dfs调用结束了，换句话说就是扑克牌已经全部放完了需要按照顺序将扑克牌收回，重新放，也就是前面所说的*/}}
}

说到这里，是不是已经能够理解dfs。现在还要进行最后一步：程序结束的标志和完整的代码

#include<stdio.h>
int a[10],book[10],n;
//这里还有需要注意的地方C语言全局变量默认为0void  dfs(int step){ //此时在第step盒子面前，需要往里面放第i张扑克牌int i;if(step==n+1){    //这里说明前面的n个盒子已经放好了，这是dfs结束的标志 for(i=1;i<=n;i++)printf("%d",a[i]);printf("\n");return ;/* 注意这个 return 它的作用不是返回主函数，而是返回上一级的dfs函数例：如果此时是  dfs(5),遇到这个 return 就会回到上一级的 dfs函数 也就是dfs(4),但此时dfs(4)的大部分语句已经执行了，只需要接着执行 book[i]=0然后继续进入for循环进入下一次的 dfs函数，直到结束。         */ }for(int i=1;i<=n;i++){if(book[i]==0){  //说明i号扑克牌还在手里，需要放入step号盒子a[step]=i;//将i号扑克牌放到第step个盒子中book[i]=1;//此时i号扑克牌已经被使用     dfs(step+1);/*注意这里是自己调用自己，表示此时走到了第step+1个盒子面前*/        book[i]=0;/*book[i]=0表示dfs调用结束了，换句话说就是扑克牌已经全部放完了需要按照顺序将扑克牌收回，重新放，也就是前面所说的*/}}return;//这里表示这一级别的dfs函数已经结束了，返回上一级 dfs函数 }
int main(){scanf("%d",&n);dfs(1);   //dfs函数的开始 return 0;
}

相信大家已经能理解dfs了吧。其实要理解dfs的关键在于解决“当下该怎么做”和“下一步如何做” 。下面便是dfs的基本模型，基本大部分的dfs题目都能按照此模型来写。

1.3基本模型

void dfs(int step){判断边界尝试每一种可能 for(i=1;i<=n;i++){继续下一步 dfs(step+1)}返回
}

2. 拓展（全排列）

1-9 9个数凑一个等式，其中每个数由3个数字组成

2.1思路

初看这个题目，其实最容易想到的其实是暴力枚举，如果用暴力枚举的话，则需要用到9重for循环，而且每个数都不能相同。在这里就不用这种方法了。
接下来就来看看dfs的用法吧

2.2源码

#include<stdio.h>
int a[10],book[10],total;
//这里还有需要注意的地方C语言全局变量默认为0void  dfs(int step){ int i;if(step==10){ if(a[1]*100+a[2]*10+a[3]+a[4]*100+a[5]*10+a[6]==a[7]*100+a[8]*10+a[9]){total++;printf("%d%d%d+%d%d%d=%d%d%d\n",a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8],a[9]);}    return ;
}       for(int i=1;i<=9;i++){if(book[i]==0){  //说明i号扑克牌还在手里，需要放入step号盒子a[step]=i;//将i号扑克牌放到第step个盒子中book[i]=1;//此时i号扑克牌已经被使用     dfs(step+1);/*注意这里是自己调用自己，表示此时走到了第step+1个盒子面前*/        book[i]=0;/*book[i]=0表示dfs调用结束了，换句话说就是扑克牌已经全部放完了需要按照顺序将扑克牌收回，重新放，也就是前面所说的*/}}return;//这里表示这一级别的dfs函数已经结束了，返回上一级 dfs函数 }
int main(){dfs(1);   //dfs函数的开始 printf("%d",total/2);return 0;
}

3.迷宫问题

题目大概意思：处于迷宫入口的小明（1,1），寻找位于（p，q）的小红，也就是最短路径问题其中n表示行，m表示列

看到这个题目的时候用DFS，感觉就是四处碰壁，最后才走向成功。也就是指把所有的情况都发生一次，才知道最好的选择并输出。

3.1思路

首先要把这个迷宫看作一个二维数组，每走一步就相当于x或者y变化

接下来看看如何表示小明走一步吧！其实很简单，只需要用一个二维数组就行了哦。

int next[4][2]={{0,1), //向右走一步{1,0},//向下走一步{0,-1},//向左走一步{-1,0}};//向上走一步

下面的一张图，就更方便大家理解了，正好与上面的源码对应。

通过这个方向数组，使用循环就很容易获得下一步的坐标。这里可以用tx，xy来表示。

for(k=0;k<=3;k++){   //下一步的坐标tx=x+next[k][0]; //下一步的坐标：当前的+下一步要走的ty=y+next[k][1];//下一步坐标：当前的+下一步要走的
}

下面来对下一点（tx,ty）进行一些判断。
包括是否越界，是否为障碍物，已经这个点是否被访问。所以也要一个book[tx][ty]来记录点是否被访问。如果这个点符合所有要求，就继续寻找下一个点，也就是 dfs( tx,ty,step+1)。
注意：a[][]等于0表示该点不是障碍
还有book[][]等于0表示该点还没走过
下面就是具体的代码

for(k=0;k<=3;k++){   //下一步的坐标tx=x+next[k][0]; ty=y+next[k][1];//判断是否越界if(tx<1 || tx>n || ty<1 || ty>m)continue;  //运行到这里，说明这条路，则需要换个方向，也就是重新进入for循环if(a[tx][ty]==0 && book[tx][ty]==0){book[tx][ty]=1; //标记这个点走过dfs(tx,ty,step+1); //进行下一步book[tx][ty]=0;   //重新尝试，退回到上一个点的位置}}

其实到这里也就差不多了，但还有最后一步。如何判断小明已经找到小红了。不多说了，看代码吧！

void dfs(int x,int y,int step){   //step用来表示找到小红，小明走了多少步if(x==p&& y==q){  //说明已经找到了小红   if(step<min)min=step;return ;   //返回上一步，继续寻找其他路径}return 0;}

3.2完整源码

#include<stdio.h>
int book[51][51],a[51][51];
int n,m,p,q,min=99999;int next[4][2]={{0,1}, //向右走一步{1,0},//向下走一步{0,-1},//向左走一步{-1,0}};//向上走一步void dfs(int x,int y,int step){   //step用来表示找到小红，小明走了多少步int tx,ty,k;if(x==p&& y==q){  //说明已经找到了小红  /*还要说明一点：这里 为什么是（x，y），而不是（tx，xy） 其实很简单 就是上一个dfs()函数传过来的坐标 ，做了这个dfs()函数的形参 换句话说：就是判断点是否找到小红 */ if(step<min)min=step;return ;   /*返回上一步，继续寻找其他路径（就是退回到上一个坐标，重新找其他路径）回到上一个dfs()函数 */ }for(k=0;k<=3;k++){   //下一步的坐标tx=x+next[k][0]; ty=y+next[k][1];//判断是否越界,越界则重新进入for循环 if(tx<1 || tx>n || ty<1 || ty>m)continue;  //运行到这里，说明这条路，则需要换个方向，也就是重新进入for循环if(a[tx][ty]==0 && book[tx][ty]==0){book[tx][ty]=1; //标记这个点走过dfs(tx,ty,step+1); //进行下一步book[tx][ty]=0;   //重新尝试，退回到上一个点的位置}}return ;   //执行到这里，这层dfs()函数已经结束，则要回到上一层dfs()函数 }int main(){int i,j,startx,starty;scanf("%d %d",&n,&m);    //输入迷宫的大小 for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[i][j]);  //输入迷宫的形状 scanf("%d %d",&startx,&starty);  //小明的坐标 scanf("%d %d",&p,&q);            //小红的坐标 book[startx][starty]=1;         //起始点标记，就不会回到这个点了 dfs(startx,starty,0);      //开始寻找最短路径 printf("%d",min);        //输出最短路径 return 0;
}

4.题目实践

看完这几道题可远远不够哦，接下来，还准备了一些题目加深大家对DFS的认识
1.蓝桥杯真题题解-剪邮票
2.蓝桥杯真题题解-方格填数
3.蓝桥杯真题题解-方块分割
4.题目链接：P1219 [USACO1.5]八皇后 Checker Challenge
题解：递归+回溯（DFS）
5.题目链接：P1596 [USACO10OCT]Lake Counting S
题解：DFS

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