分裂基 c语言算法,分裂基快速傅里叶变换 - osc_v8jmwk6w的个人空间 - OSCHINA - 中文开源技术交流社区...
一、功能
计算复序列的分裂基快速傅里叶变换。
二、方法简介
序列$x(n)(n=0,1,...,N-1)$的离散傅里叶变换定义为 $$ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{nk}, \qquad k=0,1,...,N-1 $$ 其中$W_{N}^{nk}=e^{-j\frac{2\pi nk}{N}}$,将$X(k)$按序号$k$的奇偶分成两组。当$k$为偶数时,进行基2频率抽取分解, $X(k)$可表示为 $$ X(2k)=\sum_{n=0}^{N/2-1}[x(n)+x(n+\frac{N}{2})]W_{N}^{2nk} \ , \ k=0,1,...,\frac{N}{2}-1 $$ 当$k$为奇数时进行基4 频率抽取分解,$ X(k)$可表示为 $$ \left{\begin{matrix}X(4k+1)=\sum_{n=0}^{N/4-1}{[x(n)-x(n+\frac{N}{2})]-j[x(n+\frac{N}{4})-x(n+\frac{3N}{4})]}W_{N}^{n}W_{N}^{4nk}\ X(4k+3)=\sum_{n=0}^{N/4-1}{[x(n)-x(n+\frac{N}{2})]+j[x(n+\frac{N}{4})-x(n+\frac{3N}{4})]}W_{N}^{n}W_{N}^{4nk}\end{matrix}\right.\k = 0,1,...,\frac{N}{4}-1 $$ 由此可见,一个$N$点的DFT 可以分解为一个$N/2$点的DFT 和两个$N/4$点的DFT 。这种分解既有基2的部分,又有基4的部分,因此称为分裂基分解。上面的$N/2$点DFT 又可分解为一个$N/4$点的DFT 和两个$N/8$点的DFT, 而两个$N/4$点的DFT也分别可以分解为一个$N/8$点的DFT和两个$N/16$点的DFT 。依此类推,直至分解到最后一级为止。这就是按频率抽取的分裂基快速傅立叶变换算法。
分裂基快速算法是将基2和基4分解组合而成。在基$2^m$类快速算法中,分裂基算法具有最少的运算量,且仍保留结构规则、原位计算等优点。
三、使用说明
是用C语言实现基4快速傅里叶变换(FFT)的方法如下:
/************************************
x ---一维数组,长度为n,开始时存放要变换数据的实部,最后存放变换结果的实部。
y ---一维数组,长度为n,开始时存放要变换数据的虚部,最后存放变换结果的虚部。
n ---数据长度,必须是4的整数次幂。
************************************/
#include "math.h"
void srfft(double *x, double *y, int n)
{
int i, j, k, m, il, i2, i3, nl, n2, n4, id, is;
double a, b, c, e, a3, rl, r2, r3, r4;
double cl, e3, sl, s2, s3, ccl, cc3, ssl, ss3;
for(j = 1; i = 1; i < 10; i++) {
m = i;
j = 4 * j;
if(j == n) break;
}
n2 = 2 * n;
for(k = 1; k <= m; k++) {
n2 = n2 / 2;
n4 = n2 / 4;
e = 6.28318530718 / n2;
a = 0;
for(j = 0; j < n4; j++) {
a3 = 3 * a;
ccl = cos(a);
ssl = sin(a);
cc3 = cos(a3);
ss3 = sin(a3);
a = (j + 1) * e;
is = j;
id = 2 * n2;
do {
for (i = is; i < (n-1); i = i + id) {
il = i + n4;
i2 = il + n4;
i3 = i2 + n4;
rl = x[i] - x[i2];
x[i] = x[i] + x[i2];
r2 = x[il] - x[i3];
x[il] = x[il] + x[i3];
sl = y[i] - y[i2];
y[i] = y[i] + y[i2];
s2 = y[il] - y[i3];
y[il] = y[il] + y[i3];
s3 = rl - s2;
rl = rl + s2;
s2 = r2 - sl;
r2 = r2 + sl;
x[i2] = rl * eel - s2 * ssl;
y[i2] = -s2 * eel - rl * ssl;
x[i3] = s3 * ee3 + r2 * ss3;
y[i3] = r2 * ee3 - s3 * ss3;
}
is = 2 * id - n2 + j;
id = 4 * id;
}while (is < (n-1));
}
is = O;
id = 4;
do {
for (i=is;i
il = i + 1;
rl = x[i];
r2 = y[i];
x[i] = rl + x[il];
y[i] = r2 + y[il];
x[il] = rl — x[il];
y[il] = r2 — y[il];
}
is = 2 * id - 2;
id = 4 * id;
} while(is < (n - 1));
nl = n - 1;
for (j = O, i = O; i < nl; i++) {
if(i < j) {
rl = x[jJ;
sl = y[j];
x[j] = x[i];
y[j] = y[i];
x[i] = rl;
y[i] = sl;
}
k = n / 2;
while(k < (j + 1)) {
j = j - k;
k = k / 2;
}
j = j + k;
}
}
}
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