add by zhj: 在学习Lucene的存储结构时，看到其使用了FST，这篇文章写的不错。

trie，FSA，FST都是用来解决有限状态机的存储，trie是树，它进一步演化为FSA和FST，这两者是图

该文的原标题是“使用自动机来索引1,600,000,000个键”，我改了一下，原标题其实是

说这三类数据结构的使用场景。

有限状态机(FSM, finite state machine)可以用来紧密地存储有序集合和有序键值对，并且可以实现快速搜索。本文中，我会表明怎样用FSM来作为数据结构存储这样的数据。

FSM作为数据结构

FSM是一个状态的集合和状态转移的集合。一个起始状态，0个或多个结束状态。一个FSM在同一时间只有一个状态。

FSM非常常见，并且可以用来描述一系列过程。比如我家猫咪Cauchy一天的日常生活:

里面有一些”asleep”或者”eating”的状态，一些转移”food is served”, “something moved”。这里没有结束状态，如果结束了，那真是太恐怖了！

FSM近似的表达了现实中的情况。Cauchy不可能同时吃饭和睡觉，这跟FSM中同一时刻只有一个状态是一样的。并且，从一个状态转移到另一个状态需要外部环境的一个输出。需要睡觉，可能是因为”吃饱了”, “累了”等等。不管他睡得多死，”听到外面的声音”，它总会醒过来。

有序集合

有序集合里的键按照字典序排序。典型的应用是二叉查找树和B树。无序集合，典型应用就是哈希表。这里，我们先描述一个确定无环有限状态接收器(deterministic acyclic finite state acceptor)，即FSA。

一个FSA需要满足以下条件：

确定性的。给定已给输入，最多只能转移到一个状态。

无环的。不能反序遍历。

接收器。FSA可以接收一系列特定的输入。

那么，怎么用这些特性来表示一个集合呢。诀窍在于，key作为FSA的状态转移。这样，给定一个输入key，我们可以知道这个key这个key是否在FSA中。

假设一个集合，只有一个key”jul”。FSA就像下面这样：

这时候如果问FSA，是否包含”jul”。处理顺序如下：

给定j，FSA状态从0变为1.

给定u，FSA状态从1变为2.

给定l，FSA状态从2变为3.

输入结束，这时候判断一下FSA是否处在final状态(图中用双圈表示)，表明jul确实在set中。

这时候如果问FSA，是否包含”jun”。处理顺序如下：

给定j，FSA状态从0变为1.

给定u，FSA状态从1变为2.

给定l，FSA不动，处理结束。

FSA不动，因为状态2只接收’l’的转移，但是当前输入为’n’。因此处理结束，也表明集合中不包含”jun”。

这时候如果问FSA，是否包含”ju”。处理顺序如下：

给定j，FSA状态从0变为1.

给定u，FSA状态从1变为2.

判断一下，此时是否处于final状态。

值得注意的是，判断一个key是否存在，受限于key的长度，而不是set的大小。

下面把key”mar”添加到FSA中去，这时候FSA的表现如下：

FSA变得稍微复杂一点，状态0可以有两个转移。如果起始输入mar，它会先转移到1状态。

还有一个需要注意的是，状态3被jul和mar两个key共享。即，状态3可以由l和r转移过来。这种共享的方式，可以用更少的空间保存更多的信息。

如果再加入jun，FSA表现如下：

看到变化了么？只有一点点变化。FSA看起来和之前的几乎没什么区别。唯一变化的地方在状态5多了一个转移。FSA其实没有新增状态节点，因为jun和jul共享了前缀ju

下面展示一个更复杂的FSA，包含三个key，october，november，december。

因为有相同的后缀ber，在FSA中只需要编码一次就行了。两个key有更大的相同的后缀，ember。

在介绍FST之前，我们先看看，如何来遍历FSA中所有的key呢？

为了阐述这个过程，还用一个之前的一个简单的图，有三个key，jul，jun和mar。

遍历方式如下：

初始化状态0

移动到状态4，把j添加到key中

移动到状态5，把u添加到key中

移动到状态3，把l添加到key中，输出jul

返回状态5，把key中的l抛弃掉

移动到状态3，把n添加到key中，输出jun

返回状态5，把key中的n抛弃掉

返回状态4，把key中的u抛弃掉

返回状态0，把key中的j抛弃掉

移动到状态1，把m添加到key中

移动到状态2，把a添加到key中

移动到状态3，把r添加到key中，输出mar

这个算法直接应用一个栈存储访问过的状态，和一个栈存储相应的转移。时间复杂度为O(n)，空间复杂度O(k)，k是set中最长的键的大小。

有序map

和有序集合类似，只是多了一个输出。有序map常用在二叉查找树和b树，无序map就是hashtbale。这里我们介绍一个deterministic acyclic finite state transducer，确定无环有限状态转移器，FST。

FST满足以下特性：

确定性。

无环。

一个转移器。给定一系列输入，会输出一个值。当且仅当输入会达到FST的final状态。

FST和FSA很像，但是对于一个key，FSA只回答了”yer or no”，FST不仅回答”yes or no”，还好返回和这个key相关的一个值。

在有序集合中，只需要把key保存在转移时。但是在这里，还需返回与key对于的value。

一种方法是，在每次转移的时候添加一些值。当输入序列在状态之间转移的时候，输出序列也在慢慢增加。

还是看一个简单的例子吧。map中只包含一个数据jul，对应的value为7:

这和上面的集合差不多，只是在第一个转移状态j之后多了一个相关联的输出7.另外的转移u和l对应的输出都是0，所以图中就不显示了.

如果要判断，FST中是否存在key”jul”，并且需要对应的返回值，处理过程如下：

初始化value为0

给定输入j,FST从状态0转移到1，value+7

给定输入u，FST从状态1转移到2，value+0

给定输入l，FST从状态2转移到3，value+0

输入结束，状态3为final状态，因此key存在，value为7

下面把k-v,”mar 3”添加到FST中

在起始节点，多了一个新的转移m，对应输出为3.如果我们查询jul，那么应该和上面是一样的处理过程。

继续，当添加一个有相同前缀的key，会发生什么呢？

添加key jun，value 6

在状态5和状态3之间添加了一个转移n。但是还有另外两个变化

0->4转移j输入对应输出从7变成了6.

5->3转移l输入对应输出从0变成了1.

这个变化之后们可以正确查询jun和jul，并且返回正确的值。

这种key的属性确保了，即使共享前缀，对于每一个key，然后只有一个唯一的路径可以贯穿整个machine。因此，每个key也有唯一的value。我们要做的就是怎么把这些输出放在转移中去。

其实不仅可以共享前缀，还可以共享后缀。对于两个key tuesday和thursday，分别对于输出3和5.

这两个key有相同的前缀t，相同的后缀sday，按照图里的方式可以保证输出的正确性。

这里在描述输出的时候，其实有一点局限，如果输出不是整形。确实，在FST里用做输出的类型必须满足以下特性：

加法

减法

取前缀(对于整数来说就是min)

构建

Trie树构建

trie树，前缀树。和FSA的区别在于，FSA可以共享前缀和后缀。对于键mon，tues，thus来说，FSA如下：

而trie树只共享前缀，如下：

构建trie树很直接的，对于一个给定的输入，只需要去看看有没有相同的前缀。直到找出相同的前缀，余下的直接转移到一个final状态就可以了。

FSA构建

FSA和trie的区别在于，共享后缀。因此一个FSA的空间会比trie少很多，但是构建起来却更复杂，因此我们如果按照key的字典序插入的话，会好很多，还是用图片来说明。

对于三个key，mon，tues和thurs。按照字典序，插入顺序mon，thurs和tues。先插入mon：

下面插入thurs:

插入thurs的时候，会导致之前的mon被冻结。当FSA中一部分被冻结的时候，我们知道，它以后再也不会被更改了。因为按照字典序排序的，后面的key肯定都是大于等于thurs的。因此不会和mon有相同前缀的key插入了。蓝色的state代表被冻结住，以后不会被更改但是可以被复用。

虚线的状态表示thurs还没有被真正加入到FSA中去，下面插入tues：

在这一步里，我们可以确定hurs会被冻住。因为将会不会有和它有相同前缀的词插入进来了。因为thurs和mon可以有相同的final state了。

这里状态4仍然是虚线，因为还不能确定t开头的key还有没有了。如果下面插入zon：

看到，这时状态4已经被冻住了，因为不会在有t开头的key出现了，另外thurs和tues有一个共同的后缀s，因此状态7和状态9被合并了。

最后，在结束操作以后，把FSA的最后一部分冻住，一个完整的没有重复的结构如下：

因为mon和zon有相同的后缀，因此它们除了第一个状态转移不一样，剩下的可以重复利用。

FST构建

下面快速说一下FST构建，插入键值对 mon-2，tues-3，thurs-5.

直接上图，插入mon-2

对于第一步，我们也可以这样分配输出的值

其实这样也是可以的，但是在算法上来说，把输出放在靠近初始状态的地方，代码写起来更简单。

插入thurs-5

插入tues-3

在把状态0-4之间的输出从5变为3的之后，需要把4之后所有的输出全部加2，除了新添加的key，这样就可以保持输出的平衡。

下面插入一个tye-99

最后的完全形态