Coin 2017icpc-西安赛区牛顿二项式

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题意：有一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率是q/p。现在抛k次硬币，求其中有偶数次正面朝上的概率为X/Y，现在要求输出X*(Y对于1e9+7的逆元)。

题解：

for(int i=0;i<=k;i+=2){ans+=C(k,i)*(1-q/p)^(k-i)*(q/p)^i;
}

可以看出这是一个牛顿二项式，但是求的是偶数项。

根据牛顿二项式有：

偶数项+奇数项=(a+b)^k=1

偶数项-奇数项=(a-b)^k=(1-2*q/p)^k

所以偶数项=(1+(1-2*q/p)^k)/2

其中要求逆元

代码：

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#include<bitset>#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>#include<iomanip>
#include<iostream>#define debug cout<<"aaa"<<endl
#define d(a) cout<<a<<endl
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define LL long long
#define lson l,mid,root<<1
#define rson mid+1,r,root<<1|1
#define MIN_INT (-2147483647-1)
#define MAX_INT 2147483647
#define MAX_LL 9223372036854775807i64
#define MIN_LL (-9223372036854775807i64-1)
using namespace std;const int N = 100000 + 5;
const LL mod = 1000000000 + 7;
const double eps = 1e-8;LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}LL r=exgcd(b,a%b,x,y);LL t=x;x=y;y=t-a/b*y;return r;
} LL quick(LL a,LL b){LL ans=1;a%=mod;while(b){if(b&1)ans=(ans*a)%mod;a=(a*a)%mod;b>>=1;}ans%=mod;return (ans+mod)%mod;
} int main(){int t;LL p,q,k,temp,x,y,ans;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%lld%lld%lld",&p,&q,&k);temp=quick(p,k);exgcd(temp,mod,x,y);ans=(quick(p-2*q,k)*x)%mod;ans=1+ans;exgcd(2,mod,x,y);ans=(ans*x)%mod;ans=(ans+mod)%mod;printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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