看到贴吧有人在人工玩数字拆分，我试试用计算机玩玩数字拆分。玩数字拆分第一个想到的就是用递归方法，具体代码如图1所示，从图1可以看出，代码非常简单。

图1 拆分数字递归代码

试着对数字6进行拆分，运行递归拆分数字的程序，得结果如图2所示。

图2 数字6拆分的递归输出

显然，图2中输出数据是不完整的，我们试着把数据重构出来，如图3所示。

图3-1 数字6拆分完整数据

图3-2 数字6拆分完整数据

图3中第一行数据是1 5，第二行数据是1 1

4，第二行中第1个1是从上一行中继承下来的，第二行中1和4是从上一行的数字5拆分而来，这就是数据重构的规律，这样我们就在程序中增加一个二维数据，用以记录拆分数据，运行修改后的程序得结果如图4所示。

图4 数字6的拆分

从图4中可以看出，拆分数据是完整的，拆分也没有遗漏，但有一个问题，拆分数据有大量重复，比如1 1 2 2和1

2 1 2就是重复拆分数据，那接下来要做的改进是去除重复数据，运行修改后的程序，得结果如图5所示。

图5 数字6拆分的种类

从图5中可以看出，数字6用递归方法拆分出19种，当拆分数字11时，共拆分出557种，如图6所示。

图6 数字11的拆分种类数

这样问题又来了，我们是用整数类型int定义的二维数组，最大到(貌似)1000*1000，在数字拆分这个问题，这样的数组大小是远不够的，我们改用char类型定义二维数组，此时最大到(貌似)2000*1000，改用char类型数组后，大概最大可以拆分到数字21，我们实际试算了数字19的拆分，如图7所示。

图7 数字19的拆分

从图7中可以看出，用递归方法拆分数字，数据量巨大，时间复杂度也大，有没有更好的办法，想出了一个迭代公式，f(n)=1*f(n-1)+2*f(n-2)+3*f(n-3)+...+(n-1)*f(1)=Σ(n-i)*f(i)，i=1...n-1，这个公式的意义如图8所示。

图8 数字拆分迭代计算公式

在拆分迭代计算公式中初始值为，1=1，2=2，2=1+1，用代码实现数字拆分迭代公式，试算数字5拆分，其结果如图9所示。

图9-1 迭代算法v0.1拆分数字5

图9-2 迭代算法v0.1拆分数字5

从图9中可以看出，用迭代算法拆分数字5结果是正确的，再用迭代算法试算数字6的拆分，如图10所示。

图10 迭代算法v0.1拆分数字6

从图10可以看出，迭代算法计算数字6的拆分有遗漏，少了一个6=3+3，那我们把迭代算法改进一下，f(n)=Σ(n-i)*f(i)+ceil(n/2)*floor(n/2)，这样改进后，数字6拆分是对了，如图11所示。

图11 迭代算法v0.2拆分数字6

然而，用改进后迭代算法计算数字11的拆分，还是错了，如图12所示。

图12 迭代算法v0.2计算数字11拆分

从图12可以看出，用改进迭代公式计算拆分有遗漏，以后还作了一点小改进，但用代码实现迭代公式后，运行程序，发现拆分仍有遗漏，此时突然明白，问题不在那上面，而是漏了一个(n-1、1)的拆分，这样将拆分公式改进为f(n)=∑(n-i)*f(i)+(n-1)*1，式中n>=2，i=1...n-1，f(1)=1，

1*(n-1)=1+(n-1)=n，从图12中还可以看出一个问题，那就是拆分出来的种类数很大，而其中绝大部分是重复的，为此，每进行一个数字的拆分都作去重计算，即

迭代拆分算法：

1.迭代计算拆分

2.去重复计算

3.没达到n回到第1步，否则输出拆分数据

用改进后迭代算法，计算数字30的拆分，如图13所示。

图13 迭代算法v1.0计算数字30的拆分

从图13可以看出，用迭代算法计算数字拆分，时间复杂度和空间复杂度都大为降底，但即使这样，计算一个大一点数字的拆分仍是不可想象的，而递归算法计算数字拆分，如果不考虑去重复问题则受制编译器的递归重数。

一个看似小学生都会的数字拆分，在程序实现上竞有那么多问题，我不知道是否还有更好、更简单算法，也不知道迭代计算数字拆分是我原创，还是早就有了，只是我不知道而己。