编程之美--数组中的最长递增子序列（LIS longest increasement sequence）

最早见到这道题目是在poj中，具体的题目忘记了，但是所要求的算法是一致的。

当时在学习LCS，因此想了一种和LCS比较相似的解法：

对原数组使用快速排序，然后使用LCS的思想求最大公共字串。这种解法比较容易理解，但是所需要的空间为：O(2N) = O(N)；时间为O(N^2+N*lgN) = O(N^2)，显然这不是一种最优的解法。但是当时还真没有想到更好的解法……

最近看到编程之美上面的题目，然后豁然开朗。

书中提供了两个解法：

1. 根据无后效性的定义，可以使用DP来进行求解。根据递推公式：LIS[i+1] = max{LIS[i+1],LIS[k]+1} (当Data[i+1] > Data[k], 并且k∈[0,i]

在得出了上述的通项公式之后，可以简单的写代码求解了。但是这里需要注意的就是在for循环当中不停地更新当前的最大值，方便函数最后的结果返回。这个解法是传统的DP，因此时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(N)，但是在渐进意义上优于我的解法。

2. 当考虑前i个元素对i+1个元素的影响时，可以这样简答的理解：当子序列的最大元素比当前元素小时，就可以把当前元素添加到这个序列后面，构成一个新的LIS。

因此需要找到前i个元素的一个LIS，而且这个LIS的最大元素比Array[i+1]小，且长度尽可能的长。

为了加速算法的实现，构建一个长度为N的数组来维护长度为i的LIS的最大值。

因此该算法的时间复杂度是O(N^2)，空间复杂度是O(2N) = O(N)。

上述算法的实现如下：

（二分查找的改进没有实现……）

//数组中最长递增子序列 #include <iostream> using namespace std; template<class T> inline T MaxInTwoElement(const T&a, const T &b) {return a>b?a:b; } int Slove1(const int *, int);//使用DP寻找，O(N^2)， DP[i] = Max{DP[j]+1,DP[i]}(DP[i]>DP[j]) int Slove2(const int *, int);//使用另外的数组保存长度为n的LIS最大元素的最小值 int Slove3(const int *, int); int Dp[20]; void Initialize() {memset(Dp,0,sizeof(Dp));Dp[0] = 1; } int main() {int (*p[3])(const int*, int) = {&Slove1,&Slove2,&Slove3};int Data[] = {1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};for (int i = 0;i<3;++i){cout<<p[i](Data,sizeof(Data)/sizeof(int))<<endl;}return 0; } int Slove1(const int *Data, int length) {Initialize();int Max = 1;for (int i = 1; i<length; ++i){for (int j = 0; j<i; ++j){if (Data[i] > Data[j]){Dp[i] = MaxInTwoElement(Dp[j] + 1,Dp[i]);}}Max = Max>Dp[i]?Max:Dp[i];}return Max; } int Slove2(const int *Data, int length) {int *MaxEle = new int[length +1];MaxEle[0] = -INT_MAX;MaxEle[1] = Data[0];//initializefor (int i =0; i<length; ++i)Dp[i] = 1;int maxLength = 1;for (int i=1; i<length; ++i)//traversing the array{int j;for (j=maxLength; j>-1; --j)//find the Max element int the LIS{if (Data[i] > MaxEle[j])//j is the length of sequence, too{//means it can be added to the sequenceDp[i] = j+1;break;}}//now j = 0 or the index which firstly satisfied Data[i] > MaxEle[j] if (Dp[i] > maxLength){//update the length and the element in MaxEle according to the lengthmaxLength = Dp[i];MaxEle[Dp[i]] = Data[i];}else if(Data[i] > MaxEle[j] && Data[i] < MaxEle[j+1]){//当前的值并不比最大长度大，则更新MaxEle[j+1] = Data[i];}}return maxLength; } int Slove3(const int *Data, int length) {int *MaxEle = new int[length +1];MaxEle[0] = -INT_MAX;MaxEle[1] = Data[0];//initializefor (int i =0; i<length; ++i)Dp[i] = 1;int maxLength = 1;for (int i=1; i<length; ++i)//traversing the array{int j; // int bg = 0; // int end = maxLength;//here, cuz the MaxEle is ordered( can be proved), //we can use binary search // while (true) // { // j = (bg +end)/2; // if (Data[i] > MaxEle[j]) // { // Dp[i] = j+1; // break; // } // else // { // end = j; // } // }for (j=maxLength; j>0; --j)//find the Max element int the LIS{if (Data[i] > MaxEle[j])//j is the length of sequence, too{//means it can be added to the sequenceDp[i] = j+1;break;}}//now j = 0 or the index which firstly satisfied Data[i] > MaxEle[j] if (Dp[i] > maxLength){//update the length and the element in MaxEle according to the lengthmaxLength = Dp[i];MaxEle[Dp[i]] = Data[i];}else if(Data[i] > MaxEle[j] && Data[i] < MaxEle[j+1]){//当前的值并不比最大长度大，则更新MaxEle[j+1] = Data[i];}}return maxLength; }

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