题目大意

定义仙人球为一个无自环重边的、每个点最多属于一个简单环的无向连通图。
现在给定一个nn个点mm条边的仙人球，你要从其中选出至多KK个，使得这些点满足能在不经过其它没被选择的点的情况下互相连通。不能不选点。
求出方案数模109+710^9+7。

1≤n≤5×103,1≤K≤min(n,100)1\le n\le5\times10^3,1\le K\le\min(n,100)

题目分析

可以发现仙人球就是一堆环形成一个树形结构（孤立的单点也可以看做环）。
那么我们考虑使用动态规划。
设fi,jf_{i,j}表示做到第ii个环，以这个环为根的子仙人球总共选择了jj个节点，并且当前环的深度最小的点一定选择了的方案数。
考虑将环上每个点为根的子仙人球的信息放到点上，令hi,jh_{i,j}表示当前环第ii个点为根的子仙人球（如下图颜色圈中的各个块）选择了jj个节点的方案数。

hih_{i}可以很方便地由第ii个点的所有儿子的ff推出。
那么现在考虑知道了hih_{i}怎么求出ff。
现在我们相当于在一个环上有若干个关键点，第ii个关键点选择jj个点有hi,jh_{i,j}种方案。求整个环从11号点（环深度最小的点即顶点）开始向两边若干连续关键点选出点的方案。
我们令F0,i,jF_{0,i,j}表示从点11向后扩展到点ii，每个关键点都至少选出一个点，总共选出jj个点的方案数。F1,i,jF_{1,i,j}则是从最后一个点向前扩展到点ii，其它类似。

F0/1,i,jF_{0/1,i,j}通过hi,jh_{i,j}易得。
令tottot为环上关键点个数。我们得出这个以后，就可以通过

fx,j=F0,tot,j+∑i=1totF0,i,k∑l=i+2totF1,l,j−k

f_{x,j}=F_{0,tot,j}+\sum_{i=1}^{tot}F_{0,i,k}\sum_{l=i+2}^{tot}F_{1,l,j-k}
来计算 ff的值，后面那个sigma显然可以使用后缀和维护，而为什么是从i+2i+2开始枚举呢？因为如果我们算上 i+1i+1，那就会把整个环的关键点都有点选的情况计算上 tottot次。而式子前面那个 F0,tot,jF_{0,tot,j}就是把这种情况一次性算了。
那么知道了 ff，我们怎么统计答案呢？
设gi,jg_{i,j}表示做到第 ii个环，以这个环为根的子仙人球总共选择了jj个节点，并且当前环至少选了一个点的方案数。我们求答案时把所有 gi,jg_{i,j}加起来就行了。
怎么计算 gg呢？gg相当于在环上的连续一段关键点中选点。我们分两种情况讨论：一种是这连续的一段没有跨过第一个点和最后一个点的连边，另一种是这连续的一段跨过了第一个点和最后一个点的连边。
我们令 Gi,jG_{i,j}表示环上第 ii个关键点向前连续选点，选了jj个的方案数，方程和 FF是有点类似的。那么所有的Gi,jG_{i,j}求和就是第一种情况。
至于第二种情况呢？可以发现它其实就是从第一个点和最后一个点分别向两边延伸，和 ff的计算过程是差不多的，唯一的不同就是从最后一个点延伸那边不能一个点都不选，不然就会算重。
计算过程中不需要显式地弄gg出来，我只是为了统计方便弄了这个辅助变量。
所有过程都是 O(nK2)\mathrm O(nK^2)的。

代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <stack>using namespace std;int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while (!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x*f;
}const int P=1000000007;
const int N=5050;
const int M=N<<1;
const int E=M<<1;
const int MAXK=105;int f[N][MAXK],g[N][MAXK],h[N][MAXK],F[2][N][MAXK],G[N][MAXK],sum[MAXK];
int last[N],bel[N],DFN[N],low[N];
int tov[E],rev[E],nxt[E];
stack<int> st;
int cir[N][N];
int idx,cnt,n,m,tot,K,ans,root;void insert(int x,int y,int r){tov[++tot]=y,rev[tot]=tot+r,nxt[tot]=last[x],last[x]=tot;}void tarjan(int x,int fe)
{DFN[x]=low[x]=++idx,st.push(x);for (int i=last[x],y;i;i=nxt[i])if (i!=fe)if (!DFN[y=tov[i]]) tarjan(y,rev[i]),low[x]=min(low[x],low[y]);else low[x]=min(low[x],DFN[y]);if (DFN[x]==low[x]){++cnt;int y;do{y=st.top(),cir[bel[y]=cnt][++cir[cnt][0]]=y,st.pop();}while (x!=y);for (int i=1;i*2<=cir[cnt][0];i++) swap(cir[cnt][i],cir[cnt][cir[cnt][0]+1-i]);if (x==1) root=cnt;}
}void dp(int cid,int fa)
{int son=cir[cid][0];for (int i,x,y,j=1;j<=son;j++)for (i=last[x=cir[cid][j]];i;i=nxt[i])if ((y=tov[i])!=fa&&bel[y]!=cid) dp(bel[y],x);for (int i,x,y,u,j=1;j<=son;j++){for (i=0;i<=K;i++) h[j][i]=0;h[j][1]=1;for (i=last[x=cir[cid][j]];i;i=nxt[i])if ((y=tov[i])!=fa&&(u=bel[y])!=cid)for (int k=K;k>=1;k--)for (int l=1;l<=K-k;l++)(h[j][k+l]+=1ll*h[j][k]*f[u][l]%P)%=P;}/*calculate G*/for (int i=1;i<=K;i++) G[1][i]=h[1][i];for (int i=2;i<=son;i++)for (int j=K;j>=1;j--){G[i][j]=h[i][j];for (int k=1;k<=K-j;k++) (G[i][j+k]+=1ll*G[i-1][j]*h[i][k]%P)%=P;}for (int i=1;i<=son;i++)for (int j=1;j<=K;j++)(g[cid][j]+=G[i][j])%=P;/*calculate F*/for (int i=1;i<=K;i++) F[0][1][i]=h[1][i];for (int i=2;i<=son;i++)for (int j=K;j>=1;j--){F[0][i][j]=0;for (int k=1;k<=K-j;k++) (F[0][i][j+k]+=1ll*F[0][i-1][j]*h[i][k]%P)%=P;}for (int i=1;i<=K;i++) F[1][son][i]=h[son][i];for (int i=son-1;i>=1;i--)for (int j=K;j>=1;j--){F[1][i][j]=0;for (int k=1;k<=K-j;k++) (F[1][i][j+k]+=1ll*F[1][i+1][j]*h[i][k]%P)%=P;}for (int i=0;i<=K;i++) sum[i]=0;for (int i=1;i<=K;i++) f[cid][i]=F[1][1][i];sum[0]=1;for (int i=son-1;i>=1;i--){for (int j=1;j<=K;j++)for (int k=0;k<=K-j;k++){(f[cid][j+k]+=1ll*F[0][i][j]*sum[k]%P)%=P;if (k) (g[cid][j+k]+=1ll*F[0][i][j]*sum[k]%P)%=P;}for (int j=1;j<=K;j++) (sum[j]+=F[1][i+1][j])%=P;}
}void calc()
{ans=0;for (int i=1;i<=cnt;i++)for (int j=1;j<=K;j++)(ans+=g[i][j])%=P;
}int main()
{freopen("cactus.in","r",stdin),freopen("cactus.out","w",stdout);n=read(),m=read(),K=read();for (int i=1,x,y;i<=m;i++) x=read(),y=read(),insert(x,y,1),insert(y,x,-1);tarjan(1,0),dp(root,0),calc();printf("%d\n",ans);fclose(stdin),fclose(stdout);return 0;
}

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