通过E-R图转换得出一组关系模式后
**选择1：**把一些关系模式合并为更大的关系 —— 会产生过多的数据冗余

inst_dept(ID, name, salary, dept_name, building, budget)

如果通过E-R模型转换得出如下两个关系模式

sec_class(sec_id, building, room_number) and
section(course_id, sec_id, semester, year)

那么在逻辑设计中，可以将上述两个关系合并为如下关系

section(course_id, sec_id, semester, year, building, room_number)

上述关系模式不会产生数据冗余

设计选择2：更小的模式？
如果通过E-R模型转换得出inst_dept关系模式，那么在逻辑设计中，我们可以将其分解为两个关系模式

instructor(ID, name, salary, dept_name)
department(dept_name, building, budget)
# 从而避免(building, budget)的数据冗余

如何知道该合并或分解关系模式呢?

1. 可以通过保持如下一条规则：dept_name确定(building, budget)数据，即保持函数依赖：dept_name → building, budget
2. 由于dept_name在inst_dept关系中不是主码，因此需要将其拆分为更小的关系模式

并不是所有的关系模式拆分是有益的
将employee(ID, name, street, city, salary)分解为

employee_attr1(ID, name)
employee_attr2(name, street, city, salary)

name无法作为employee_attr2关系的主码，有可能会重名
无法通过分解出的employee_attr1和employee_attr2重建（自然连接）得出原始关系
我们称无法通过自然连接重建原始关系元组的分解为有损分解 (lossy decomposition)

无损分解

R = ( A , B , C ) R = (A, B, C) R=(A,B,C)的分解
R 1 = ( A , B ) R 2 = ( B , C ) R1 = (A, B) \ R2 = (B, C) R1=(A,B) R2=(B,C)

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \join at position 18: …= \Pi_{A,B}(r) \̲j̲o̲i̲n̲ ̲\Pi_{B,C)(r)和 R ( A , B , C ) R(A,B,C) R(A,B,C)等价

函数依赖

假设 r ( R ) r(R) r(R)是一个关系模式, α ⊆ R \alpha \sube R α⊆R, β ⊆ R \beta \sube R β⊆R, 模式R上的函数依赖
α → β \alpha\rightarrow \beta α→β

成立的条件是：如果对于任意关系实例r中任意两个元组t1 和t2，如果两者的属性(集) α \alpha α取值相同, 那么它们的属性(集) β \beta β取值也相同。也就是
t 1 [ α ] = t 2 [ α ] ⇒ t 1 [ β ] = t 2 [ β ] t1[\alpha] = t2 [\alpha] \Rightarrow t1[\beta ] = t2 [\beta ] t1[α]=t2[α]⇒t1[β]=t2[β]

称之为 α \alpha α函数确定 β \beta β, β \beta β函数依赖于 α \alpha α

假设r(A,B) 有如下关系实例

1 4
1 5
3 7

A → B A\rightarrow B A→B不成立，反之成立

函数依赖和码

➢ 超码：在某关系中，若一个或多个属性的集合 { A 1 , A 2 , … , A n } \{A_1, A_2,…, A_n\} {A1​,A2​,…,An​}函数决定该关系中的其它全部属性，则称该属性为该关系的超码
✓若属性组K满足K → R，则K 是关系模式R的超码

➢ 候选码：若集合 { A 1 , A 2 , … , A n } \{A_1, A_2,…, A_n\} {A1​,A2​,…,An​}的任何真子集均不能函数决定该关系中的其它属性，则此时 { A 1 , A 2 , … , A n } \{A_1, A_2,…, A_n\} {A1​,A2​,…,An​}是最小的超码，即候选码
✓ K → R 且不存在 α ⊂ K \alpha \sub K α⊂K, 满足 α → R \alpha → R α→R

➢ 外码：若关系模式R中属性或属性组X是另一关系模式的主码，则称X是R的外码

S（Sno，Sname，Sdept，Sage）
SC（Sno，Cno，G）

函数依赖允许我们表达超码不能表达的约束。考虑下面的模式：
i n s t d e p t ( I D ‾ , n a m e , s a l a r y , d e p t _ n a m e , b u i l d i n g , b u d g e t ) . inst_dept (\underline{ID}, name, salary, dept\_name, building, budget). instd​ept(ID​,name,salary,dept_name,building,budget).

超码函数依赖：
ID → name, salary, dept_name, building, budget

函数依赖在关系实例和关系模式上的体现区别：

1. 如果关系实例r在函数依赖集F上合法，则称r满足F
2. 如果模式R上的所有合法关系实例都满足函数依赖集F，我们说F在关系模式R上成立

notice：即使函数依赖并没有对关系模式r®的所有合法实例成立，这个关系模式的其中一个具体实例r可能满足函数依赖

相关术语

有些函数依赖被称为平凡(trivial)的，因为它们在所有关系中都是满足的
• name → name
• ID, name → ID

如果 β ⊆ α \beta\sube \alpha β⊆α, α → β \alpha \rightarrow \beta α→β是平凡的函数依赖
β ⊈ α \beta\not\subseteq \alpha β​⊆α, α → β \alpha \rightarrow \beta α→β则这个是非平凡的函数依赖
α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 则 α \alpha α是决定因素

函数依赖 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 称为部分依赖的条件是：存在 α \alpha α的真子集γ，
使得 γ → β γ→ \beta γ→β

闭包

从给定函数依赖集F能够推导出的所有函数依赖的集合，我们称之为F集合的闭包
A → B , B → C A\rightarrow B, B\rightarrow C A→B,B→C
推出 A → C A\rightarrow C A→C
我们用 F + F^+ F+来表示函数依赖集F的闭包,是F的超集

1. 给定关系模式r( R )，如果r( R ) 的每个满足F的 实例也满足某个函数依赖ｆ，则R上的函数依赖ｆ逻辑蕴含（logically imply）于ｒ上的函数依赖集F
2. 已知关系R上的函数依赖集T、F，如果对于该关系中满足F的每一个关系实例都满足T，称函数依赖集F 逻辑蕴含 函数依赖集T
3. 若F蕴含于T，且T蕴含于F，则函数依赖集T和F是等价的，记为T≡F

推理规则

Armstrong公理:

1. 如果 β ⊆ α \beta\sube \alpha β⊆α, , 则有 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β (自反律)
2. 如果 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β, 则有 γ α → γ β \gamma\alpha \rightarrow \gamma\beta γα→γβ (增补律)
3. 如果 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β及 β → γ \beta \rightarrow \gamma β→γ, 则有 α → γ \alpha \rightarrow \gamma α→γ (传递律)

有效的：它们不会产生错误的函数依赖
完备的：对一个给定函数依赖集F，它们能产生整个F+

函数依赖证明(A → H)：
已知A → B，根据函数依赖定义，可得：

对于任意元组t1, t2，如果t1[A] = t2[A]，那么 t1[B]=t2[B]
已知B → H，同理可得：如果t1[B] = t2[B]，那么 t1[H]=t2[H]
综上可得：如果t1[A] = t2[A]，那么t1[H] = t2[H]，即A → H得证

计算函数依赖集F的闭包算法:

repeatfor each F +中的函数依赖 f在f上应用自反律和增补律将结果加入到F +中for each F +中一对函数依赖f1和 f2if f1 和 f2 可以使用传递律结合起来将结果加入到F +中
until F + 不再发生变化

附加定理:
若有 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 及 α → γ \alpha \rightarrow \gamma α→γ, 则有 α → γ β \alpha \rightarrow \gamma\beta α→γβ (合并律)
若有 α → γ β \alpha \rightarrow \gamma\beta α→γβ, 则有 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 及 α → γ \alpha \rightarrow \gamma α→γ (分解律)
若有 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β及 β γ → δ \beta\gamma \rightarrow \delta βγ→δ, 则有 α γ → δ \alpha\gamma \rightarrow \delta αγ→δ (伪传递律)

给定属性集 α \alpha α, 我们称在函数依赖集F下由 α \alpha α函数确定的所有属性集合为F下 α \alpha α的闭包，记为 α + \alpha^+ α+

算法

result := α;
while (result发生变化) dofor each 函数依赖 β → γ in F dobeginif β ⊆  result then result := result ∪ γend

闭包用途

属性闭包算法有多个用途：

1. 超码的判断：
   • 判断α 是不是超码，通过计算α+，看α+ 是否包含R中的所有属性
2. 验证函数依赖：
   • 要检验函数依赖α → β是否成立 (换句话说，是否在F +中), 只需要检验是否β ⊆ α+
   • 也就是说，我们用属性闭包计算α+ ，看它是否包含β
   • 是一个简单快速的验证方法，但是很有用
3. 计算F的闭包：
   • 对任意的γ ⊆ R, 我们找出闭包γ+；对任意的S ⊆ γ+, 我们输出一个函数依赖γ → S

规范化（Normalization）

一个数据库的描述对象包括：学生（Sno），系（Sdept）、系负责人（Name）、课程（Cname）和成绩（G）

U ={Sno, Sdept, Name, Cname, G}
FD ={ Sno->Sdept,Sdept->Name,(Sno,Cname)->G }建立关系模式：S(Sno, Sdept, Name, Cname, G)

存在问题：
➢ 数据冗余
➢ 需要用空值来表示某些信息

可以将S分解为三个关系模式：

 S(Sno, Sdept)SG(Sno, Cname, G)Dept(Sdept, Name)

假设R是关系模式，具有函数依赖集F
在关系模式不是“好”的模式的情况下，将其分解成
关系模式集 { A 1 , A 2 , … , A n } \{A_1, A_2,…, A_n\} {A1​,A2​,…,An​}

1. 每个关系模式都是好的模式：无数据冗余（符合一定范式，例如BCNF）
2. 分解是无损连接分解
3. 最好的是，分解是保持依赖的（p225）

各种范式之间包含关系如下
1 N F ⊃ 2 N F ⊃ 3 N F ⊃ B C N F ⊃ 4 N F ⊃ 5 N F 1NF \supset 2NF \supset 3NF \supset BCNF \supset 4NF \supset 5NF 1NF⊃2NF⊃3NF⊃BCNF⊃4NF⊃5NF
某一关系模式R最高属于第n范式，可简记为R∈nNF

第一范式

如果某个域的元素被认为是不可分的单元，那么这个域就是原子的

✓非原子域的例子：
• 复合属性（E-R模型）
• 类似于CS101的ID（只要数据库应用没有将CS标识号拆开并解析为系的缩写，那么可认为是原子的）

如果一个关系模式R的所有属性域都是原子的，我们称关系模式R属于第一范式
非原子的值会造成复杂存储及数据冗余

第二范式

例: 关系模式 SLC(S#, SD, SL, C#, G)
SL为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方
SD为学生所在系，假设每个学生属于一个系

若存在如下函数依赖
{ ( S # , C # ) → f G ; ( S # , C # ) → P S D ; S D → S L ; ( S # , C # ) → P S L } \{ (S\#,C\#) \mathop{\rightarrow}\limits^{f}G; (S\#,C\#) \mathop{\rightarrow}\limits^{P}SD; SD\rightarrow SL; (S\#,C\#) \mathop{\rightarrow}\limits^{P}SL \} {(S#,C#)→fG;(S#,C#)→PSD;SD→SL;(S#,C#)→PSL}

SLC (S#, SD, SL, C#, G)分解为
两个关系模式:
S C （ S # ‾ , C # ‾ , G ） S L （ S # ‾ , S D , S L ） SC（\underline{S\#}, \underline{C\#}, G） SL（\underline{S\#}, SD, SL） SC（S#​,C#​,G）SL（S#​,SD,SL）

2NF的定义
若关系模式R∈1NF，且在F+中每一个非主属性完全函数依赖于候选码，则R∈2NF

Boyce-Codd范式 BCNF

具有函数依赖集F的关系模式R属于BCNF的条件是：对所有F+中形如 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β的函数依赖（ β ⊆ R \beta \subseteq R β⊆R且 α ⊆ R \alpha \subseteq R α⊆R ），下面至少有一个成立：

1. α → β \alpha \rightarrow \beta α→β是平凡函数依赖
2. α \alpha α是模式R的一个超码

不属于BCNF的模式的例子:

i n s t _ d e p t ( I D ‾ , n a m e , s a l a r y , d e p t _ n a m e , b u i l d i n g , b u d g e t ) inst\_dept (\underline{ID}, name, salary, dept\_name, building,budget) inst_dept(ID​,name,salary,dept_name,building,budget)
因为 dept_name → building, budget 在inst_dept上成立，但是 dept_name 不是超码

另一个判定标准：
另一个判定准则：在关系模式R（U, F）中，如果F+中的每一个非平凡 函数依赖的 决定属性集都包含候选码（即为超码），则
r ( R ) ∈ B C N F r(R)∈BCNF r(R)∈BCNF

BCNF范式：排除了任何属性（包括主属性和非主属性）对候选码的部分依赖和传递依赖，也排除了主属性之间的传递依赖

例子

1. r( R)=r(A,B,C), F={ A->B,B->C }.
   r( R)的候选码为A
   r ( R ) ∉ B C N F r(R) ∉ BCNF r(R)∈/​BCNF
2. r( R)=r(A,B,C),F={ AB->C,C->A }.
   r( R)的候选码为AB和BC
   r ( R ) ∉ B C N F r(R) ∉ BCNF r(R)∈/​BCNF
3. r( R)=r(A,B,C),F={ AB->C,BC->A }.
   r( R)的候选码为AB和BC
   r ( R ) ∈ B C N F r(R) ∈ BCNF r(R)∈BCNF

假设有模式R，及其一个非平凡依赖 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 不属于BCNF，那么我们可以将R分解成：
( a ∪ β ) 和 ( R − ( β − α ) ) (a\cup \beta) 和 (R-(\beta - \alpha)) (a∪β)和(R−(β−α))
inst_dept的例子中

α = dept_name
β = building, budget

inst_dept 被以下两个模式取代

 ( dept_name, building, budget )( ID, name, salary, dept_name )

有可能分解完之后仍有关系模式不符合BCNF，那么continue

保持依赖

检查包括各种约束（码、check子句、函数依赖、断言等）的开销是很大的，但是如果只涉及到单个关系，检查约束的开销相对较低

然而，BCNF分解会妨碍某些函数依赖的高效检查

如果F上的每一个函数依赖都在其分解后的一个关系上成立，那么这个分解是保持依赖的

因为通常无法同时实现BCNF和保持依赖，因此我们考虑另外一种范式，它比BCNF宽松，允许我们保持依赖，称为第三范式

第三范式

具有函数依赖集F的关系模式R属于第三范式（3NF）的条件是：对F+ 中所有形如 →  的函数依赖中，至少有以下之一成立

1. α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 是一个平凡的函数依赖
2. α 是R的一个超码
3. β - α 中的每个属性A都包含在R的候选码中
   (注意: 每个属性也许包含在不同的候选码中

➢ 第三个条件是BCNF的一个最小放宽：即允许存在主属性对候选码的传递依赖和部分依赖，在函数依赖集F中用来满足保持某些函数依赖

等价定义
关系模式R(U, F)中，若不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z( Z ⊈ Y Z\not\sube Y Z​⊆Y)使得 X → Y X\rightarrow Y X→Y( Y ↛ X , Y ↛ X , Y → Z Y\not\rightarrow X, Y\not\rightarrow X, Y\rightarrow Z Y​→X,Y​→X,Y→Z),则称
R ( U , F ) ∈ 3 N F R(U,F)\in 3NF R(U,F)∈3NF

具有属性依赖集F的关系模式R属于3NF，则R张任何非主属性A不部份依赖与码也不传递依赖于R的码

在关系模式SJP（S，J，P）中，S表示学生，J表示课程, P表示名次。存在函数依赖集F：{(S，J)→P，(J，P)→S}
候选码: (S，J), (J，P)
S, J, P都是主属性

因为： 没有非主属性部份依赖或传递依赖于候选码
所以： STJ ∈ 3NF因为:对于F任意一个 X → Y,X都是候选码
所以：STJ ∈ BCNF

例：在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。存在如下函数依赖：

每一教师只教一门课；某一学生选定某门课，就确定了一位授课教师；某个学生选修某个教师的课就确定了所选课的名称（假设）F={T→J，(S，J)→T，(S，T)→J}

∵ (S，J)和(S，T)都是候选码
∴ S、T、J都是主属性∵ 没有非主属性部分依赖或传递依赖于候选码
∴ STJ∈3NF∵ T→J，T是决定属性集，T不是候选码
∴ STJ \not ∈ BCNF

解决方法：将STJ分解为二个关系模式：
TJ(T，J) ∈ BCNF， ST(S，T) ∈ BCNF

原始函数依赖(S，J)→T，(S，T)→J 在该符合BCNF的关系模式中无法保持

BCNF足够优秀吗？

考虑一个关系模式
inst_info (ID, child_name, phone)
其中，一个instructor可以有多个children和多个phone
由于该关系模式中只有平凡的函数依赖关系存在，因此其属于BCNF

然而该BCNF模式仍存在由多值依赖（p238）造成的信息冗余：如果需要为99999教师增加一个电话号码981-992-3443，那么需要增加两条元组，如下

(99999, David, 981-992-3443)
(99999, William, 981-992-3443)

可以将inst_info关系模式分解为两个关系模式
inst_child(ID, child_name)
inst_phone(ID, phone)

因此，需要更为严格的范式来规范关系模式，如4NF

函数依赖理论

正则覆盖

函数依赖集可能存在冗余依赖（这些依赖可以从其他依赖中推导出来）
在 {A → B, B → C, A→C }中A → C是冗余的

函数依赖集的一部分也可能是冗余的
如: {A → B, B → C, A → CD }
可以简化成 {A → B, B → C, A → D }
如: {A → B, B → C, AC → D }
可以简化为 {A → B, B → C, A → D }

直观上，F的正则覆盖 F c F_c Fc​没有任何冗余依赖或存在冗余部分的依赖
F c F_c Fc​具有和F相同的函数依赖集闭包。其意义在于：验证 F c F_c Fc​比验证F更加容易、3NF算法必备

无关属性

如果去除函数依赖中的一个属性不改变该函数依赖集的闭包，则称该属性是无关属性（extraneous）

形式化定义：考虑函数依赖集F及F中函数依赖 α → β

• 如果A ∈ α并且F逻辑蕴涵(F – {α→ β}) ∪ {(α – A)→β}，则属性A在α 中是无关的
• 如果A ∈ β并且函数依赖集(F – {α→β}) ∪ {α→(β–A)} 逻辑蕴涵F，则属性A在β中是无关的

eg: 给定 F = {A → C, AB → C}

• B 是AB → C中的无关属性，因为 {A → C, AB → C}逻辑蕴涵A → C (即从 AB → C中去掉B后的结果)

eg: 给定 F = {A → C, AB → CD}

• C是AB → CD中的无关属性

验证方法

考虑函数依赖集F及F中的函数依赖α → β.
验证属性A ∈ α 是不是多余的

1. 使用F中的函数依赖计算属性集闭包 ( α – A ) + (\alpha –A)^+ (α–A)+
2. 验证 ( α – A ) + (α –A)^+ (α–A)+ 是否包含β；如果包含，那么A 是多余属性

验证属性A ∈ β 在 β 中是否多余

1. 使用函数依赖集F’= (F –{α → β}) ∪ {α →(β–A)}计算 α + \alpha^+ α+
2. 验证 α + \alpha^+ α+ 是否包含A；如果包含，那么A 在α中是多余属性

正则覆盖

计算F的正则覆盖算法：首先，初始化Fc= F；
repeat使用合并律将Fc中的形如α1 → β1 及 α1 → β2 的依赖替换为 α1 → β1β2在Fc中找出 在α或中含无关属性的函数依赖α → β/* 注意：使用Fc而不是F检验无关属性*/若发现无关属性则将它从Fc中的α → β中删除
until Fc 不再发生变化

注意：在删除了某些无关属性后可能需要使用合并律，因此合并律会重复应用

F的正则覆盖Fc是一个函数依赖集 ，具有如下特性：

• F 逻辑蕴涵Fc中的所有函数依赖
• Fc逻辑蕴涵F中的所有函数依赖
• Fc中任何函数依赖都不含无关属性
• Fc中函数依赖的左半部都是不同的

R = (A, B, C)
F = { A → BC，B → C，A → B，AB → C }✓合并 A → BC 和 A → B ，形成 A → BC修改Fc1为{ A → BC, B → C, AB → C }✓A在AB → C中是无关属性利用Fc1检验(AB-A)＋是否包含C包含，则修改Fc2为{ A → BC, B → C }✓C在A → BC中是无关属性计算F’｛A → B, B → C｝下A＋闭包是否包含C包含，则修改Fc3为｛A → B, B → C｝

正则覆盖是
A → B B → C A\rightarrow B\\ B\rightarrow C A→BB→C

无损分解

对于R = (R1, R2), 我们要求模式R上的所有可能关系r都有
r = Π R 1 ( r ) ⋈ Π R 2 ( r ) r=\Pi_{R1}(r) \Join \Pi_{R2}(r) r=ΠR1​(r)⋈ΠR2​(r)

如果下面的依赖中至少有一个属于 F + F^+ F+，那么将R分解成 R1 和R2 是无损分解连接:
R 1 ∩ R 2 → R 1 R 1 ∩ R 2 → R 2 R1 \cap R2 → R1\\ R1 \cap R2 → R2 R1∩R2→R1R1∩R2→R2
即 R1 ∩ R2 是R1或R2的超码

上述函数依赖测试只是无损连接分解的一个充分条件；只有当所有约束都是函数依赖时，它才是必要条件(某些情况下，即使不存在函数依赖的情况下，仍可保证一个分解是无损分解)

eg

R = ( A, B, C )
F = { A → B, B → C }
//  可以通过两种方式分解 1.R1 = (A, B), R2 = (B, C) 无损连接分解： R1 ∩ R2 = { B }B→ BC2.
R1 = (A, B), R2 = (A, C)无损连接分解： R1 ∩ R2= { A }A → AB

保持依赖

F为模式R上的一个函数依赖集，R1,R2, … , Rn为R的一个分解。F在Ri上的限定是 F + F^+ F+中所有只包含Ri中属性的函数依赖的集合Fi

方法一（图8-10）：令 F ’ = F 1 ∪ F 2 ∪ … ∪ F n F’ = F_1 \cup F_2 \cup … \cup F_n F’=F1​∪F2​∪…∪Fn​。 F’ 是模式R上的一个函数依赖集

• 如果下面的式子成立，那么分解是保持依赖的
  ( F ’ ) + = F + (F’ )^+ = F^+ (F’)+=F+
• 称具有性质 ( F ’ ) + = F + (F’ )^+ = F^+ (F’)+=F+的分解为保持依赖的分解

方法二（充要条件）：当R分解成R1, R2, …, Rn后，应用以下算法，验证F中每一个函数依赖α → β 是否被保持：

result = α
while (result发生变化) dofor each 分解后的Rit =((result ∩ Ri)^+) ∩ Riresult = result ∪ t

• 如果result 包含β中的所有属性，那么函数依赖 α → β 被保持
• 可以将这个验证应用到所有F中的依赖，来验证这个分解是否保持依赖
• 方法的好处：没有计算F在Ri上的限定并使用它计算result 的属性闭包，而是使用F上（result ∩ Ri）上的属性闭包得到一个相同的结果`

eg

R = (A, B, C)
F = {A → B, B → C}
// 可以通过两种方式分解R1 = (A, B), R2 = (B, C)
无损连接分解： 保持依赖R1 ∩ R2 = {B} and B → BCR1 = (A, B), R2 = (A, C)
无损连接分解： 不保持依赖
R1 ∩ R2 = {A} and A → AB(不计算R1 \Join R2, 无法验证B →C)

分解算法

对于 F + F^+ F+中非平凡依赖 α → β \alpha\rightarrow \beta α→β验证是否违反BC范式

1. 计算 α + \alpha^+ α+
2. 检验是否包含R的所有属性，验证是否是R的超码

检查R是否属于BCNF，检查F的函数依赖是否违反BCNF（如果F中没有违反BCNF的函数依赖，那么F+中也不会有违反BCNF的函数依赖）

在检测由关系R分解后的关系Ri是否满足BCNF范式时，只使用F是不正确的

R = (A, B, C, D, E), F = { A → B, BC → D}
• 将R 分解成R1 = (A,B) 和 R2 = (A,C,D, E)
• F中没有一个依赖仅包含来自(A,C,D,E)的属性，所以我们可能误认为R2满足BCNF
• 事实上，F+中有一个函数依赖AC → D，这表明R2不属于BCNF

检查R分解后的关系Ri是否属于BCNF

• 使用F在Ri上的限定检测 R i R_i Ri​是否满足BCNF (即， F + F^+ F+中只包含 R i R_i Ri​中的属性的FD)
• 使用R中成立的原来的依赖集F 进行以下测试
  • 对每个属性集 α ∈ R i \alpha \in R_i α∈Ri​, 确保 α + \alpha^+ α+（在F下的）要么不包含 R i − α R_{i} - \alpha Ri​−α的任何属性，要么包含 R i R_i Ri​的所有属性
  • 如果F中的某些函数依赖 α → β \alpha\rightarrow \beta α→β违反了该条件，那么
    如下函数依赖出现在F+中： α → ( α + − α ) ∩ R i \alpha\rightarrow (\alpha^+-\alpha) \cap R_i α→(α+−α)∩Ri​则Ri违反了BCNF
    
    我们将关系模式R分解成：
• ( α ∪ β ) (\alpha \cup \beta ) (α∪β)
• ( R − ( β − α ) ) ( R - ( \beta - \alpha ) ) (R−(β−α))

α \alpha α = dept_name
β \beta β = building, budget

inst_dept

• ( α ∪ β ) (\alpha \cup \beta ) (α∪β) = ( dept_name, building, budget )
• ( R − ( β − α ) ) ( R - ( \beta - \alpha ) ) (R−(β−α)) = ( ID, name, salary, dept_name )

example

class (course_id, title, dept_name, credits, sec_id, semester, year, building, room_number, capacity, time_slot_id)# 函数依赖
course_id → title, dept_name, credits
building, room_number → capacity
course_id, sec_id, semester, year → building, room_number, time_slot_id候选码{course_id, sec_id, semester, year}.

分析：
course_id→ title, dept_name, credits 不符合BCNF要求
但是 {building, room_number} 不是class-1的超码
拆成三部分

R = (J, K, L )
F = {JK → L， L → K }

两个候选码：JK 和JL
✓R 不满足BCNF
✓R 满足3NF
✓R 的任何分解都不可能保持
J K → L JK → L JK→L
✓这意味着要验证 JK → L 需要连接操作

✓BCNF分解可能无法做到保持依赖
✓能够有效的验证更新是否违反函数依赖很重要
解决方法：采用一个稍弱的范式，第三范式

1. 允许冗余（会引起问题）
2. 但是函数依赖可以在不进行连接操作的情况下在单个关系上检验
3. 总是能够在无损连接及保持依赖的情况下分解成3NF

关系dept_advisor:
dept_advisor (s_ID, i_ID, dept_name)
F = { s_ID, dept_name → i_ID, i_ID → dept_name }

1. 两个候选码: s_ID, dept_name, 和 i_ID, s_ID
2. R 是3NF

• s_ID, dept_name → i_ID
  • s_ID，dept_name 是超码
• i_ID → dept_name
  • β − α \beta - \alpha β−α= dept_name 在一个候选码中

冗余覆盖

➢ 信息重复

1. R中( l1, k1)
2. dept_advisor中(i_ID, dept_name)

➢ 需要使用空值

1. R中没有对应l2, k2的J值.
2. dept_advisor (s_ID，i_ID, dept_name) 没有学生信息时

cust_banker_branch = (customer_id, employee_id, branch_name, type)函数依赖是:
1. customer_id, employee_id → branch_name, type
2. employee_id → branch_name
3. customer_id, branch_name → employee_id

计算正则覆盖

✓ 1
st 依赖中是branch_name多余的
✓ 没有其他冗余属性,所以得到 FC =customer_id, employee_id → typeemployee_id → branch_namecustomer_id, branch_name → employee_id产生下面的3NF模式:
(customer_id, employee_id, type) <- primary key(c_id, e_id)
(employee_id, branch_name) <- primary key(e_id)
(customer_id, branch_name, employee_id)<-  primary key(c_id, b_name)

(customer_id, employee_id, type ) 包含了原模式的一个候选码，因此没有其他关系模式需要添加

检测并删除类似(employee_id, branch_name)的模式，这个模式是其它模式的子集

由此产生的简化3NF模式为:

(customer_id, employee_id, type)
(customer_id, branch_name, employee_id)

BC和3的比较

BCNF和3NF的比较
➢ 总能够把一个关系分解为多个满足3NF的关系，并且:
✓分解是无损的
✓保持依赖
✓可能存在信息冗余
➢ 总能够把一个关系分解为多个满足BCNF的关系，并且:
✓分解是无损的
✓可能不满足保持依赖

➢ 关系数据库设计目标：
✓BCNF
✓无损
✓保持依赖
➢ 如果不能同时达到上述三个目标，选择接受下面的其中一个
✓缺少保持依赖
✓使用3NF，可能带来冗余
➢ 除了可以通过用主码外，SQL不提供指定函数依赖的途径.
特殊的FD可以使用断言，但是测试代价太高（目前不被大多
数数据库所支持）
➢ 即使我们能够得到保持依赖的分解，使用SQL 还是不能有效
地测试一个左边不是主码的函数依赖

review
➢什么是有损分解、无损分解？
➢什么是原子域和第一范式？
➢什么是函数依赖？
➢什么是BCNF和3NF？
➢什么是逻辑蕴含？函数依赖集的闭包、属性集
的闭包、正则覆盖？
➢如何将一个关系模式分解为属于BCNF、3NF
的关系模式

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