黎曼积分求解可微曲线的弧线长度

黎曼积分求解可微曲线的弧线长度

假设曲线y=f(x)在区间[a,b]内光滑、可微且连续。那么可以根据微积分求解y=f(x)在a<= x <=b区间内形成的弧线长度。
如图：

从微分的思想入手建立数学函数式，假设s为曲线上(x,f(x))到(x+dx,f(x+dx))两点连线。这两点在水平方向的长度为dx，在垂直方向的y坐标轴长度为dy，根据直角三角形的勾股定理可知：

其中，由f’(x)=dy/dx，得到dy =f’(x) dx

从而：

即ds的长度公式最终求得为：

弧线长度是由无穷多个ds连接起来形成，这是一个积分问题。根据积分可知[a,b]的弧线长度为：

验证一个简单的二次曲线方程y=x2在[0,1]的长度：

syms x y f;
y=x.^2;
line=ezplot(y,[0,1]);
set(line,'Color','r','LineWidth',0.5);      grid on;
hold on;f=diff(y)
F=sqrt(1+f.^2)S=int(F,[0,1])f =2*xF =(4*x^2 + 1)^(1/2)S =log(5^(1/2) + 2)/4 + 5^(1/2)/2

图：

长度为：S = log(5^(1/2) + 2)/4 + 5^(1/2)/2

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